¿Cuál es la interpretación de la densidad de espín electromagnético de Chern-Simons?

Question

Hans de Vries (que resulta ser un usuario de physics.SE que ya no está activo) tiene un libro en línea (al que se hace referencia más abajo) en el que el capítulo 6 es una presentación de un objeto que él llama la corriente de Chern-Simons, densidad de espín electromagnético o espín electromagnético de Chern-Simons:

$ C^a = \frac{\epsilon_0}{2} \epsilon^{abcd} A_b F_{cd} = \epsilon_0 \epsilon^{abcd} A_b \partial_c A_d $ .

Tiene una larga y detallada presentación de este asunto, incluyendo gráficos y ejemplos. Desgraciadamente no estoy teniendo mucha suerte para extraer de esto lo que él afirma que es la interpretación de la misma, si su interpretación es estándar, y si tiene una interpretación clásica. Hace referencia a Mandel y Wolf (a los que no tengo acceso), pero lo que aparentemente presentan es una expresión diferente, $\epsilon_0 \textbf{E}\times\textbf{A}$ y lo denominamos momento angular intrínseco del campo electromagnético. De Vries dice que $C^a$ es la forma natural de hacer este tensor. Parece difícil comprobar si lo que dice es estándar, ya que dice "Las derivaciones (que tuve que hacer yo mismo ya que de alguna manera no se pueden encontrar en ningún sitio) y muchos detalles se pueden encontrar en mi documento..." (enlazando con un artículo que duplica el material del libro).

La expresión es manifiestamente clásica, por lo que no veo cómo interpretarla como la contribución intrínseca o de espín al momento angular del campo. La interpretación clásica/cuántica también queda oscurecida porque los factores de $\hbar$ comienzan a aparecer en la ecuación 6.6 de De Vries, pero se supone que estas ecuaciones se justifican en alguna parte más adelante.

Me parece impar que esto se escriba como un producto de la cuatro-potencial y una derivada de la cuatro-potencial. Esto hace que no sea manifiestamente invariante gauge. Si yo fuera a escribir una densidad de momento angular para el campo electromagnético, partiría del tensor de tensión-energía, que es un producto de $F$ con $F$ y, por tanto, independiente del calibre.

No me parece en absoluto evidente lo que se entiende por densidad de espín para el campo electromagnético. Supongo que para un fluido clásico de radiación electromagnética en equilibrio (por ejemplo, el tipo de entorno que teníamos durante el universo primitivo), definiría un marco comoving y miraría la cantidad de momento angular $L^{ab}=r^ap^b$ en un elemento de pequeño volumen. Pero está claro que eso no va a funcionar para el campo electromagnético en general, ya que no se puede definir un marco comoving para, por ejemplo, una onda plana electromagnética.

Tiene sentido que la expresión sea manifiestamente invariable por traslación, ya que si hay alguna forma sensata de dividir el momento angular en partes de espín y orbitales, sólo la parte orbital debería depender de la elección del eje.

De Vries, Understanding Relativistic Quantum Field Theory, http://www.physics-quest.org/ , cap. 6

Answer 1

El momento angular del campo electromagnético tiene la siguiente descomposición:

$\mathbf{J} = \frac{1}{4\pi c}\int d^3x \mathbf{x}\times(\mathbf{E}\times \mathbf{B} )= \frac{1}{4\pi c}\int d^3x\left [ \mathbf{E}\times \mathbf{A} + \sum_{j=1}^3 E_j(\mathbf{\nabla}\times\mathbf{x})A_j \right]$

Esta expresión aparece, por ejemplo, en Jackson: Classical electrodynamics (segunda edición) en el problema: 7.19. El segundo término puede interpretarse como el momento angular orbital por las siguientes razones 1) Es una media ponderada del operador de momento angular: $(\mathbf{\nabla}\times\mathbf{x})$ 2) Su densidad desaparece idénticamente para una onda plana.

En cambio, la densidad del primer término no depende de la posición en el espacio. Además, en la galga temporal, donde los corchetes canónicos de de Poisson son:

$\left \{ E_i(\mathbf{x}), A_j(\mathbf{y}) \right \} = -i \hbar \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})\delta_{ij}$

El primer término $ \frac{1}{4\pi c}\int d^3x \mathbf{x}\times(\mathbf{E}\times \mathbf{B} )$ satisface las relaciones de conmutación del momento angular momento angular (en el nivel del corchete de Poisson). Además, en el nivel cuántico, este término tiene un valor propio de $+1$ en fotones polarizados a la izquierda y $-1$ en fotones polarizados por la derecha. Por tanto, puede interpretarse como el operador de helicidad.

La única dificultad de la descomposición anterior es que no es invariante gauge invariante (sólo los componentes, porque el momento angular total es invariante gauge). Esta es una propiedad general de los sistemas relativistas.

El momento angular total es la carga Noether del grupo de rotación $SO(3)$ . Así, una covariación de la "densidad de espín", sería la carga de Noether del grupo de Lorentz $SO(3, 1)$ .

Ahora bien, el espín es un fenómeno cuántico en el contexto de que su cuantificación no puede ser explicada clásicamente. Pero es tiene semillas en la teoría clásica. Como es bien sabido, las partículas relativistas sin masa corresponden al pequeño grupo de Wigner $E(2)$ . Una descripción más precisa es a través de la teoría de las órbitas coadjuntas, donde las partículas sin masa corresponden a la órbita: $(SO(3,1) \rtimes R(4))/(E(2) \times U(1)) = \mathbb{R}^3 \times (\mathbb{R}^3 - 0)$ , por favor, vea arxiv:0912.218 por: Carinena, Gracia-Bondia, Lizzi, Marmob y Vitale. La órbita coadjunta describe los grados de libertad físicos (después de la reducción de toda la libertad gauge), en el caso de una partícula sin masa 3 coordenadas de posición y 3 coordenadas de momento excepto el momento cero que no está permitido para una partícula sin masa. La órbita coadjunta tiene una estructura simpléctica y describe completamente la dinámica clásica de una partícula libre sin masa. Sólo hay ciertos valores de (el coeficiente de la) estructura simpléctica para los que la órbita coadjunta puede cuantificarse. Este coeficiente resulta ser la helicidad, y tras su cuantización, la partícula adquiere una helicidad. Este es el proceso de precuantización en nuestro caso. Está en la frontera entre lo clásico y lo cuántico y algunos lo consideran una parte de la teoría clásica. En realidad, trabajamos mucho en este marco, por ejemplo, en el cálculo de una función de partición clásica de un sistema de espín, utilizamos el hecho de que el espín está cuantizado pero nada más de la teoría cuántica, por lo que estamos trabajando dentro de la precuantización.

Answer 2

El vector de espín axial del campo EM

En el contexto del álgebra de Pointcaré podemos considerar $C^\mu$ como el vector Pauli Lubanski del campo electromagnético.

\begin{equation} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&& \\ & \mbox{transl.} & \mbox{Lorentz} & \mbox{rotation} & \mbox{boost} & \mbox{Pauli Lubanski vect.} \\ \hline &&&&& \\ \mbox{Poincaré:} & P^\mu & J^{\mu\nu} & J^i & K^i & W^\mu=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,J_{\alpha\beta}\,P_\nu \\ &&&&& \\ \hline &&&&& \\ \\ \mbox{e.m. field:} & A^\mu & F^{\mu\nu} & B^i & E^i & \,C^\mu\,=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,F_{\alpha\beta}\,A_\nu \\ &&&&& \\ \hline \end{array} \end{equation}

Se transforma como un vector axial en el gauge relativista de Lorentz, lo cual es un requisito absoluto para que una expresión sea considerada el espín del campo EM.

$C^\mu$ contiene la expresión más conocida $\epsilon_o\vec{E}\times\vec{A}$ pero este término por sí solo no es un 4-vector y no se transforma correctamente, ni siquiera en el gauge de Lorentz. Hay una correspondencia muy interesante de $C^\mu$ con el vector axial del campo del fermión: \begin{equation} j_\circlearrowleft^\mu\ =\ \frac{iq_e}{2m}\ {\bar \psi}\gamma^\mu\gamma^5\psi \end{equation}

Que podemos considerar el vector Pauli Lubanski del campo fermión si realizamos la descomposición de Gordon sobre él. Obtenemos:

\begin{equation} \begin{array}{|c|c|} \hline & \\ & \mbox{Pauli Lubanski vector} \\ \hline & \\ \mbox{Poincaré:} & W^\mu=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,J_{\alpha\beta}\,P_\nu \\ \\ \\ \mbox{e.m. field:} & C^\mu\,=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,F_{\alpha\beta}\,A_\nu \\ \\ \\ \psi-\mbox{field:} & j_\circlearrowleft^\mu~=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,M_{\alpha\beta}\,j_\nu \\ \\ \hline \end{array} \end{equation}

Donde $M^{\mu\nu}$ es el Tensor de Magnetización del campo de electrones definido por.

\begin{equation} M^{\mu\nu} ~=~ \left(\frac{\mu_e}{2mc}\right)~\mbox{ $\bar{\psi}\sigma^{\mu\nu}\psi$} ~=~ \left( \begin{array}{cccc} 0 & ~~P_x & ~~P_y & ~~P_z \\ -P_x & 0 & - M_z & ~~M_y \\ -P_y & ~~M_z & 0 & - M_x \\ -P_z & - M_y & ~~M_x & 0 \end{array} \derecha) \fin{según la ecuación}

y el $j_\nu$ viene dada por los índices de cambio de fase $\partial^\nu\phi$ del campo $\psi$ .

En http://physics-quest.org/Book_Chapter_EM2_ChernSimonsSpin.pdf Calculo $C^\mu$ para algunos casos elementales y mostrar que tiene los valores que podemos esperar de él.

Hans

Answer 3

Hace un par de años, cuando leí el artículo de De Vries en línea, me planteé esta misma cuestión. Sólo estoy adivinando, pero creo que básicamente equivale a (para un solo electrón, por ejemplo):

1. Convertir el espinor en un campo vectorial equivalente combinándolo con la densidad de carga,

2. considerando el campo vectorial resultante como el rizo de una densidad de corriente.

En otras palabras, al combinar las dos componentes del espinor de la función de onda, se obtiene una densidad de espín en cada punto del espacio que en realidad tiene la cualidad de ser un campo vectorial porque además de la dirección (que es todo lo que se obtiene con un espinor) se tiene una magnitud que proviene de la densidad de carga local. Si se toma el anticurvado de ese campo vectorial se obtiene una densidad de corriente.

Esa densidad de corriente resultante es lo que De Vries llama Chern-Simon. Creo.