Estoy leyendo "Redes neuronales y máquinas de aprendizaje", tercera edición, Simon Haykin, y al principio me encontré con algo que me dejó perplejo.
Citaré una página entera porque algunos contextos pueden ser importantes y no me doy cuenta. Pero la pregunta que me hago es: ¿es así que:
$$(1 - w z^{-1})^{-1} = \sum_{l=0}^{\infty} w^l z^{-l}$$ ?
Y ahora la cita (no usaré el signo de comillas ">" para no estropear las ecuaciones):
Se dice que existe retroalimentación en un sistema dinámico siempre que la salida de un elemento del sistema influye en parte en la entrada aplicada a ese elemento concreto, dando así dando lugar a una o varias vías cerradas de transmisión de señales en el sistema. [...] Además, desempeña un papel importante en el estudio de una clase especial de redes neuronales de redes neuronales conocidas como redes recurrentes. La figura 12 muestra el gráfico de flujo de señales de un sistema de retroalimentación de un solo bucle de un solo bucle, en el que la señal de entrada $x_j(n)$ señal interna xj (n), y señal de salida señal de salida $y_k(n)$ son funciones de la variable de tiempo discreto n. Se supone que el sistema es lineal, que consiste en una trayectoria de avance y una trayectoria de retroalimentación que se caracterizan por los "operadores" A y B respectivamente. En particular, la salida del canal de avance determina en parte su propia salida a través del canal de retroalimentación. A partir de la Fig. 12, podemos observar las relaciones de entrada-salida $$y_k(n) = \textbf{A}[x'_j(n)]\qquad(16)$$ y $$x'_j(n) = x_j(n) + \textbf{B}[y_k(n)]\quad(17)$$ donde los corchetes se incluyen para enfatizar que A y B actúan como operadores. Eliminación de $x_j(n)$ entre las ecuaciones (16) y (17), obtenemos $$y_k(n) = \frac{\textbf{A}}{1-\textbf{AB}}[x_j(n)]\qquad(18)$$
Nos referimos a A /(1 - AB ) como operador de bucle cerrado del sistema, y a AB como el operador de bucle abierto. En general, el operador de bucle abierto es no conmutativo en el sentido de que BA $\neq$ AB . Consideremos, por ejemplo, el sistema de retroalimentación de un solo lazo mostrado en la Fig. 13a, para el cual A es un peso fijo w y B es un operador de retardo unitario $z^{-1}$ cuya salida se retrasa con Podemos entonces expresar el operador de lazo cerrado del sistema como del sistema como
$$\frac{\textbf{A}}{1-\textbf{AB}} = \frac{w}{1-w z^{-1}}=w(1 - w z^{-1})^{-1}$$
Utilizando la expansión binomial para $(1 - w z^{-1})^{-1}$ podemos reescribir el operador de bucle cerrado del sistema como
$$\frac{\textbf{A}}{1-\textbf{AB}} = w\sum_{l=0}^{\infty} w^l z^{-l}\qquad (19)$$
