Divisibilidad, LCM y GCD para fracciones (racionales)

Question

¿cómo encuentro el lcm de dos fracciones? Por ejemplo:

$\frac{2}{3}$ y $\frac{5}{8}$

Answer 1

Una noción de gcd y lcm para los racionales surge naturalmente al extender la relación de divisibilidad de los enteros a los racionales, es decir, para los racionales $\rm\:r,s,\:$ definimos $\rm\:r\:$ divide $\rm\:s,\:$ si $\rm\ s/r\:$ es un entero , $ $ en símbolos $\rm\:r\:|\:s\:$ $\!\iff\!$ $\rm\:s/r\in\mathbb Z\: $ [estas relaciones de divisibilidad inducidas por los subrings se discuten más adelante aquí ].

Entonces, como probado aquí, tenemos estas fórmulas duales para $\,\rm\color{#c00}{reduced}\,$ fracciones $\rm \,a/b,\ c/d$

$$\rm\ gcd\left(\frac{a}b,\frac{c}d\right) = \frac{gcd(a,c)}{lcm(b,d)}\ \ \ if\ \ \ \color{#c00}{\gcd(a,b) = 1 = \gcd(c,d)}$$

$$\rm\ lcm\left(\frac{a}b,\frac{c}d\right) = \frac{lcm(a,c)}{gcd(b,d)}\ \ \ if\ \ \ \color{#c00}{\gcd(a,b) = 1 = \gcd(c,d)}$$

Algunas de estas ideas se remontan a Euclides, que calculó la mayor medida común de segmentos de línea por antofíresis (restar continuamente lo menor de lo mayor), es decir, la forma sustractiva del algoritmo euclidiano. El método de Euclides se aclara cuando uno aprende sobre fraccionado ideales. Los métodos anteriores funcionan de forma mucho más general, ya que no requieren la existencia de un algoritmo euclidiano (de división) sino, más bien, sólo la existencia de (ciertos) gcds.

Answer 2

Como otros han señalado, no está muy claro lo que pides. Supongo que quieres el menor número racional positivo $m$ que es un entero múltiplo de ambos $\frac23$ y $\frac58$ . Contrariamente al comentario anterior, este es bien definido.

Para calcularlo, queremos $m = \frac23a = \frac58 b$ donde $a$ y $b$ son números enteros, y $m$ es lo más pequeño posible. Podemos multiplicar por 24 para obtener $16a = 15b$ . El menor número entero $a$ y $b$ satisfacer esto es claramente $a=15, b=16$ porque 16 y 15 son relativamente primos. Así que el mínimo común múltiplo $m$ de $\frac23$ y $\frac 58$ es $$\frac23\cdot15 = \frac58\cdot16 = 10.$$

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En general, podemos proceder de la misma manera. Digamos que queremos el LCM de $\frac ab$ y $\frac{a'}{b'}$ . Es decir, queremos encontrar enteros $p$ y $q$ tal que $p\frac ab = q\frac{a'}{b'}$ . Podemos eliminar los denominadores multiplicando ambos lados por $\def\lcm{\operatorname{lcm}}\lcm(b, b')$ que es igual a $bb'\over \gcd(b, b')$ por un teorema que probablemente ya has visto. Esto nos da $$ pab' = qa'b .$$

Esto se resuelve dejando que $m = \lcm(ab', a'b)$ y luego $p=\frac m{ab'}, q=\frac m{a'b}$ . La respuesta final es entonces $p\frac ab = q\frac{a'}{b'} = {m\over bb'}$ .

En su ejemplo anterior teníamos $m = \lcm(ab', a'b) = \lcm(2\cdot 8, 5\cdot 3) = \lcm(16, 15) = 240$ Así que la respuesta final fue ${240\over 3\cdot 8} = 10$ y la solución general es $$ \lcm\left(\frac ab, \frac{a'}{b'}\right) = {\lcm(ab', a'b)\over bb'}$$

Answer 3

El lcm de $3$ y $8$ es $2^3*3 = 24$ .

(Así que si quieres $\frac{2}{3} + \frac{5}{8}$ se escriben como $\frac{16}{24} + \frac{15}{24} = \frac{31}{24}$ .

Ten en cuenta que las fracciones no tienen un lcm, ¡sus denominadores (sus bits de abajo) tienen un lcm!

Generalmente, el mínimo común múltiplo se encuentra dividiendo los dos números en sus factores primos, y tomando la mayor potencia de cada uno.