Topología algebraica de Hatcher, ejemplo 1.35

Question

Hatcher considera el cilindro cartográfico A de $S^{1}$ a $S^{1}$ bajo la función $z \rightarrow z^m$ . Afirma sin explicación que la cubierta universal de A es homeomorfa a un producto $C_m \times \mathbb{R}$ donde $C_m$ es el gráfico que es un cono en $m$ puntos. No entiendo de dónde salió eso.

Aquí hay un enlace al libro de Hatcher, capítulo 1. El ejemplo se encuentra en la página 65. http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATch1.pdf

Answer 1

Trabaja hacia atrás. Considere $C_m$ como un subconjunto del plano complejo (sólo para poder escribir cómodamente la acción del grupo más tarde), $$C_m = \{\lambda e^{2k\pi i/m} \mid 0 \leq \lambda \leq 1, k \in \Bbb Z\}.$$ Entonces $C_4$ por ejemplo, es $+$ ; $C_6$ es $*$ , $C_2$ es $|$ .

Hay una acción de grupo de $\Bbb Z$ en $C_m \times \Bbb R$ dado por $n \cdot (z, t) = (e^{2\pi i n/m}z, t+n)$ . Esto desciende a una acción de $\Bbb Z/m\Bbb Z$ en $C_m \times \Bbb R/m\Bbb Z = C_m \times S^1$ . (Trate de imaginar cómo se ve esto como un subconjunto de $\Bbb R^3$ y la acción del grupo en él, en su mente). Ahora bien, ¿por qué este ¿el cilindro de mapeo que describe? Como pista, los "zarcillos" de $C_m$ (tiempos $S^1$ ) debería acabar correspondiendo al lado del "cilindro" del cilindro cartográfico, y el centro $0 \times S^1$ ) debe corresponder al círculo pegado por $z \mapsto z^m$ .