Esto es para álgebra 2 honores. Por supuesto que puedo hacer una división larga o usar el sintético, pero eso llevaría un tiempo.
Determinar el resto de $$\frac{2x^{100}-3x+4}{x-1}$$
Respuestas
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user30382
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DiGi
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La respuesta corta y fácil es que el resto cuando se divide un polinomio $p(x)$ por $x-a$ es $p(a)$ . Este es un hecho muy útil, y no es difícil de probar.
Sin embargo, aunque lo hayas olvidado, la fuerza bruta no es tan lenta como sugieres, siempre que mantengas los ojos abiertos y detectes el patrón. La primera etapa de una división larga ordinaria te da un cociente parcial de $2x^{99}$ y un resto de $2x^{99}-3x+4$ . La siguiente etapa extiende el cociente parcial a $2x^{99}+2x^{98}$ y le deja un remanente de $2x^{98}-3x+4$ . Claramente esto va a continuar hasta que en algún momento se tenga un cociente parcial de
$$2x^{99}+2x^{98}+\ldots+2x^2$$
y un resto de $2x^2-3x+4=(x-1)(2x-1)+3$ .
Ian Miller
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El teorema del resto dice el resto de $f(x)$ cuando se divide por $(x-a)$ es $f(a)$ así que la respuesta sería: $2\times1^{100}-3x+4=3$ .
Si, en cambio, quieres calcular el cociente, es un poco más difícil. Si dejas que $t=x-1$ entonces puedes reescribirlo como
$$\frac{2(t+1)^{100}-3(t+1)+4}{t}=\frac{2\left(\sum_{n=0}^{100}{100\choose n}t^n\right)-3t+1}{t}$$
$$=2\left(\sum_{n=1}^{100}{100\choose n}t^{n-1}\right)-3+\frac{3}{t}$$
Sustituyendo la espalda por $x$ dará entonces:
$$=2\left(\sum_{n=1}^{100}{100\choose n}(x-1)^{n-1}\right)-3+\frac{3}{x-1}$$
$$=2\left(\sum_{n=1}^{100}{100\choose n}\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^ix^{i}\right)-3+\frac{3}{x-1}$$
$$=2\sum_{n=0}^{99}x^n-3+\frac{3}{x-1}$$
$$=2\sum_{n=1}^{99}x^n-1+\frac{3}{x-1}$$
