Estoy tratando de resolver el ejercicio 2.13 en Isaacs Carácter' el Libro de la Teoría. Sin embargo me encontré con algunas dificultades, permítanme esbozar lo que estoy pensando de modo que usted puede decirme una sugerencia.
El problema 2.13 se indica de la siguiente manera : Vamos a $|G'|=p$, una de las principales. Suponga que $G'\subseteq Z(G)$. Mostrar que $\chi(1)^2=|G:Z(G)|$ por cada no lineal $\chi\in Irr(G)$.
Yo procedo de la siguiente manera : Vamos a $\chi$ ser un carácter no lineal de $G$. Desde $G'\subseteq Z(G)=\cap Z(\chi)$$G'\subseteq Z(\chi)$. Por lo tanto, $G/Z(\chi)$ es abelian. Por el Teorema 2.31, tenemos que $$\chi(1)^2=|G:Z(\chi)| $$ Nos gustaría demostrar que $Z(G)=Z(\chi)$. Sólo tenemos que demostrar lo contrario. Suponga que $g\in Z(\chi)$, tenemos que demostrar que el $g\in Z(G)$,es decir, conmuta con todos los $h\in G$. Deje $h\in G$, luego tenemos que demostrar que el $[g,h]=1$. Desde $[g,h]\in G'\subset Z(\chi)$, $[g,h]^p=1$ desde $|G'|=p$. Por otra parte, $g\in Z(\chi)$ implica que el $[g,h]\in Ker\chi$, y por lo $\chi([g,h])=\chi(1)>1$, ya que el $\chi$ es no lineal.
Pero entonces, en esta etapa, no sé cómo proceder para obtener $[g,h]=1$. Me podrían dar algunos consejos a continuación.
Muchas gracias de antemano.
