¿Cómo puedo resolver la ecuación $\partial_tu-\Delta u+\vec{V}\cdot\nabla u=0,$ donde $\vec{V}$ es un vector constante, para una condición inicial dada $u_0$ ? El único método que conozco realmente es el de las curvas características, que no llevaba a ninguna parte.
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caverac
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También puede utilizar Separación de variables La idea es que si asumes $u({\bf r}, t) = X({\bf r})T(t)$ entonces la ecuación se puede reescribir como
$$ \frac{1}{T(t)}\frac{{\rm d}T}{{\rm d}t} = \frac{1}{X({\bf r})}[\Delta X({\bf r}) - V\cdot \nabla X({\bf r})] $$
Así que tienes algo en el l.h.s que depende sólo de $t$ y en los h.r. algo que depende únicamente de ${\bf r}$ así que estas dos cosas deben ser una constante, $\alpha$ . Por lo tanto, te quedan dos ecuaciones diferenciales separadas
$$ \frac{1}{T(t)}\frac{{\rm d}T}{{\rm d}t} = \alpha ~\mbox{and}~ \frac{1}{X({\bf r})}[\Delta X({\bf r}) - V\cdot \nabla X({\bf r})] = \alpha $$
Puedes aplicar el mismo argumento para intentar separar el último de nuevo, dependiendo de la geometría del dominio que tengas a mano
Kiryl Pesotski
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Haz la transformada de Fourier de la ecuación $$u(r, t)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\hat{u}(t, q)e^{ir\cdot{q}}d^{n}q$$ Para dar $$\partial_{t}\hat{u}(t, q)=-(|q|^{2}+iq\cdot{V})\hat{u}(t, q)$$ La solución es $$\hat{u}(t, q)=ce^{-|q|^{2}t}e^{-iq\cdot{V}t}$$ Tomar la transformada de Fourier de la condición inicial $$\hat{u}_{0}(q)=\int_{\mathbb{R}^{n}}u_{0}(r)e^{-ir\cdot{q}}d^{n}r$$ Entonces $$c=\hat{u}_{0}(q)$$ Y la solución es $$u(r, t)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\hat{u}_{0}(q)e^{-|q|^{2}t}e^{iq\cdot(r-Vt)}d^{n}q$$ Por ejemplo, si $u_{0}(r)=u_{0}\delta^{(n)}(r-r')$ y $n=1$ entonces $$\hat{u}_{0}(q)=u_{0}e^{-ir'\cdot{q}}$$ y $$u(r, t)=u_{0}\int_{\mathbb{R}}e^{-q^{2}t+iq([r-r']-Vt)}dq=u_{0}\sqrt{\frac{\pi}{t}}\exp\Big(-\frac{([r-r']-Vt)^{2}}{4t}\Big)$$
