Teorema de la parada - Contraejemplo

Question

Estoy mirando el teorema de parada en mi script:

Dejemos que $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sea una martingala y que $T$ sea un tiempo de parada. Entonces $(X_{\min(n,T)})_{n\in\mathbb{N}}$ también es una martingala. En particular, si $T$ está acotado, entonces $X_T\in L^1$ y tenemos que $\mathbb{E}(X_T) = \mathbb{E}(X_0)$ .

Después de esto hay un ejemplo que pretende señalar que la hipótesis de que $T$ está acotado es crucial. Consideran el paseo aleatorio $X_n = Y_1+\cdots+Y_n$ comenzando en cero con $Y$ que tiene la distribución de Rademacher (que es una martingala). Ahora bien, si $T = \inf\{n\geq0:X_n=1\}<\infty$ entonces tendríamos $1=\mathbb{E}(X_T)\neq\mathbb{E}(X_0)=0$ . Pero $T$ no está acotado y, por tanto, no hay contradicción con el teorema.

Mi pregunta: ¿Cómo se puede ver que $T=\inf\{n\geq0:X_n=1\}$ no está acotado?

Answer 1

Para cualquier $n \in \mathbb{N}$ tenemos

$$\mathbb{P}(X_k \leq 0 \, \, \text{for all $ k \leq n $}) \geq \mathbb{P}(Y_1 = \ldots = Y_k = -1) = \frac{1}{2^n} ;$$

desde

$$\{X_k \leq 0 \, \, \text{for all $ k \leq n $}\} \subseteq \{T>n\}$$

esto implica

$$\mathbb{P}(T>n) \geq \mathbb{P}(X_k \leq 0 \, \, \text{for all $ k \leq n $}) \geq \frac{1}{2^n}>0.$$

Como $n \in \mathbb{N}$ es arbitraria, esto demuestra que $T$ no tiene límites.

Answer 2

Prueba por contradicción.

Supongamos que $T$ está acotado. Entonces, existe un número finito de $k$ tal que $P(T \leq k)=1$ .

Pero considera que $P(Y_1=Y_2=\dots=Y_k=Y_{k+1}=-1)=\frac{1}{2^{k+1}}$ .

Por lo tanto, vemos $P(T \leq k)=1-P(T>k)< 1-\frac{1}{2^{k+1}}<1 \Rightarrow P(T\leq k)\neq1\Rightarrow T$ no está acotado.

Answer 3

En mi muy primera respuesta de MSE Demostraré que $\mathbb{P}(T\geq 2t)={2t\choose t}\left({1\over 2}\right)^{2t}.$ Dado que esta probabilidad es positiva para todo positivo $t$ la variable aleatoria $T$ no está acotado. Hay al menos una pequeña posibilidad de que $T$ toma valores muy grandes.