Dado $7$ . polinomio de grado $p(x)$ demostrar que todas las raíces de $x^{10}-10x^9+39x^8=p(x)$ están en $(-\frac{5}{2},\frac{9}{2})$ .

Question

Supongamos que $p(x)$ es un polinomio de grado máximo $7$ y asumir que la siguiente ecuación tiene $10$ verdaderas raíces $$x^{10}-10x^9+39x^8=p(x)$$ Demostrar que todas las raíces están en $(-\frac{5}{2},\frac{9}{2})$ .

Mi intento: Si $x_0,x_1,...,x_9$ son todas las raíces entonces por las fórmulas de Vieta tenemos: $$\sum_{i=0}^9x_i = 10$$ y $$\sum_{0\le i<j\le 9}x_ix_j = 39$$ Entonces $$\sum_{i=0}^9x_i^2 = 10^2- 2\cdot 39 = 22$$ Supongo que podemos asumir que hay una raíz que no está en $(-\frac{5}{2},\frac{9}{2})$ , digamos que $x_0$ . Pero, ¿y ahora qué?

Answer 1

Para todos $i$ por C-S obtenemos:

$$22-x_i^2=\frac{1}{9}\sum_{k\neq i}1^2\sum_{k\neq i}x_k^2\geq\frac{1}{9}\left(\sum_{k\neq i}x_k\right)^2=\frac{1}{9}(10-x_i)^2,$$ que da $$5x_i^2-10x_i-49\leq0,$$ lo que implica $$x_i\in\left(-2.5,4.5\right).$$ ¡Hecho!

Answer 2

Esto es sólo reescribir la solución de Michael. Así que si marcamos $$a= \sum_{i=1}^9x_i = 10-x_0$$ y $$b= \sum_{i=1}^9x_i^2 = 22-x_0^2$$ Por la desigualdad de Cauchy sabemos que $$ 9b\geq a^2$$ por lo que obtenemos $$9(22-x_0^2) \geq (10-x_0)^2$$ y saber que tenemos $$5x_0^2 -10x_0 -49 \leq 0$$ y por lo tanto la solución. :)