$2^{nd}$ EDO lineal de orden, función complementaria igual a la fuerza motriz

Question

Lo siento, soy consciente de que el título no tiene mucho sentido; estoy confundido incluso sobre cómo describir el problema. Estoy tratando de resolver el siguiente ODE: $$\ddot{z}+9z=\sin(3t).$$ Me sale la función complementaria: $$z= A\cos{3t}+B\sin{3t}.$$ Y para encontrar la integral particular, porque la fuerza motriz (¿se llama término fuente?) es $\sin{3t}$ tomamos $$z = \alpha\sin{3t}+\beta\cos{3t} \\ \dot{z} = 3\alpha\sin{3t} - 3\beta\cos{3t} \\ \ddot{z} = -9\alpha\cos{3t}-9\beta\sin{3t}.$$ Esto implica $$-9\alpha\cos{3t}-9\beta\sin{3t} + 9(\alpha\sin{3t}+\beta\cos{3t}) = \sin{3t} \\ 0 = \sin{3t}$$ Así que mi suposición de que la integral particular es de la forma $z = \alpha\sin{3t}+\beta\cos{3t}$ debe estar equivocado, pero no sé cuál es el método correcto.

Answer 1

Esto ocurre porque $z=\sin 3t$ es una solución de la ecuación homogénea $\ddot z+9z=0$ .

En esa situación, pruebe una combinación de $t \sin 3t$ y $t \cos 3t$ .

(Una situación similar ocurriría con la ecuación de primer orden $\dot z-3z=e^{3t}$ .

La solución de esa ecuación es $z=te^{3t}+Ce^{3t}$ .)