Demostrar que la ecuación $x^6+x^5-x^4-x^3+x^2+x-1=0$ tiene dos raíces reales

Question

Demostrar que la ecuación $$x^6+x^5-x^4-x^3+x^2+x-1=0$$ tiene dos raíces reales

y $$x^6-x^5+x^4+x^3-x^2-x+1=0$$ tiene dos raíces reales

Creo que:

$$x^{4k+2}+x^{4k+1}-x^{4k}-x^{4k-1}+x^{4k-2}+x^{4k-3}-..+x^2+x-1=0$$

y $$x^{4k+2}-x^{4k+1}+x^{4k}+x^{4k-1}-x^{4k-2}-x^{4k-3}-..+x^2+x-1=0$$

tiene dos raíces reales pero no tengo la solución

Answer 1

Desde $ f(\pm \infty) = \infty, f(0) = -1$ muestra que $f$ tiene una raíz positiva y otra negativa, por lo que $f$ tiene al menos dos raíces reales.

Answer 2

Dejemos que $f(x)=x^6+x^5-x^4-x^3+x^2+x-1=0$ . Entonces $f(0)=-1$ . Nota para $x>0$ \begin{eqnarray} f'(x)&=&(6x^5+2x)+(5x^4+1)-4x^3-3x^2\\ &\ge& 4\sqrt3x^3+2\sqrt5x^2-4x^3-3x^2\\ &=&(4\sqrt3-4)x^3+(2\sqrt5-3)x^2\\ &>&0 \end{eqnarray} hance $f(x)$ es estrictamente creciente. Observando que $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ tenemos una única raíz en $(0,\infty)$ . Del mismo modo, existe una raíz única en $(-\infty,0)$ . Así, $f(x)$ sólo tiene dos raíces reales en $(-\infty,\infty)$ . Utilizando el mismo argumento para otra función, se puede obtener la respuesta.

Answer 3

No estoy seguro del caso general; pero para el primer polinomio dividir por $x^3$ ya que $x\neq0$ y sustituirlo por $y=x-1/x$ . A continuación, se obtiene $y^3+y^2+2y+1=0$ que debe tener una sola raíz real, en el intervalo $(-1,0).$ Llama a esta raíz $y=a=x-1/x$ . Entonces $x^2-ax-1=0$ que tiene un discriminante positivo ( $a^2+4$ ), lo que implica dos raíces reales distintas para $x$ . No sé si se puede hacer algo similar para el siguiente polinomio...

Answer 4

PISTA: puedes escribir esta ecuación: $x^6+x^5-x^4-x^3=-x^2-x+1$ $y=x^6+x^5-x^4-x^3$ $y=-x^2-x+1$ y dibujar dos funciones observando que hay dos puntos donde se cruzan dos fnciones.

Answer 5

La primera ecuación está bien resuelta por la respuesta de @user140591. La segunda ecuación, $x^6-x^5+x^4+x^3-x^2-x+1=0,$ no tiene ninguna raíz real. Para demostrar esto, primero mostramos que no tiene raíces negativas. Esto se puede ver escribiendo la ecuación como $$x=\frac{x^6+x^4-x^2+1}{x^4-x^2+1}\qquad\qquad\qquad\quad$$ $$=\dfrac43\frac{3(x^3-x)^2+(3x^2-1)^2+2}{(2x^2-1)^2+3}.$$ En la primera ecuación mostrada, escribe $x^2=t$ y dividir para obtener $$\sqrt t=t+2-\frac{4}{(2t-1)^2+3}.$$ Para demostrar que el lado derecho supera al lado izquierdo para $t\geqslant0$ basta con demostrar que lo hace cuando se sustituye el término negativo por su menor valor, es decir $-\frac43$ y el LHS se sustituye por $\frac12t+\frac12$ que lo limita por arriba. Esto se ve fácilmente que es el caso.