Segunda derivada de la función de distancia a un punto en espacios modelo.

Question

Me pregunto si alguien podría indicarme una referencia (o la identidad real) donde se muestre lo siguiente.

Dejemos que $\gamma:I\to (\mathbb{R}^n,d=d_{euclidean})$ sea una geodésica en $n$ -y denotamos por $d_p:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ la función de distancia a un punto fijo $p\in\mathbb{R}^n$ . Entonces es fácil demostrar que, para la función $f=d_p\circ \gamma:I\to \mathbb{R}$ se cumple lo siguiente (cuando todo es suave): $$f''f=1-f'^2 .$$

¿Se mantiene una identidad simple análoga al considerar los espacios simplemente conectados de curvatura constante $k$ en lugar del espacio euclidiano? (Por supuesto, esto debería seguir encontrando algunas coordenadas bonitas y calculando para obtener la identidad, pero pensé que podía preguntar y ahorrarme algo de tiempo).

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Esto es falso en otros espacios $M$ de curvatura constante. La razón es que $f$ es una función de 1 Lipschitz (verdadera en cualquier variedad riemanniana) y, por lo tanto, $f'^2\le 1$ . Por lo tanto, su identidad implica que $f''\ge 0$ . Sin embargo, si $M$ tiene curvatura positiva, hay pares $(p, \gamma)$ tal que $f$ no es convexo (este es un buen ejercicio que no requiere cálculos, sólo pensar). Por lo tanto, tu identidad no puede ser válida para la esfera. Utilizando la analiticidad real para la función de distancia como función de la curvatura, se concluye que la identidad tampoco se puede mantener para los espacios hiperbólicos.