Espacios de Hausdorff cuasi polacos

Question

Se dice que un espacio topológico es cuasi-polaco si es segundo-contable y completamente cuasi-metrizable (véase para una introducción el artículo de Brecht de Brecht, Matthew , Espacios casi polacos , Ann. Pure Appl. Logic 164, No. 3, 356-381 (2013). ZBL1270.03086 .) ).

Estos espacios se han introducido porque, entre otras cosas, permiten la generalización de algunos resultados de la teoría de conjuntos descriptiva clásica en entornos no Hausdorff. Ahora mis preguntas son:

1. ¿Un espacio cuasi-polaco de Hausdorff tiene que ser polaco? ¿Tenemos un contraejemplo de un espacio Hausdorff cuasi-polaco que sea no ¿Polaco?
2. ¿Existe un espacio cuasi-polaco que tenga un punto que (cuyo singleton) sea no ¿Cerrado?

Gracias.

EDIT: Aquí está el respuesta a 1.

Answer 1

Recapitulando la definición del documento: una cuasimétrica $d: X \times X \to [0,+\infty)$ obedece a los axiomas

1. Para todos $x,y \in X: x=y \iff d(x,y)=d(y,x)=0$ .
2. Para todos $x,y,z \in X: d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$ .

Por ejemplo $X=\{0,1\}$ con $d(0,0)=0=d(1,1) = d(0,1), d(1,0)=1$ es una cuasi métrica. Su topología está generada por las bolas abiertas $B_d(x,r), r>0$ donde $B_d(x,r) = \{y \in X\mid d(x,y)<r\}$ . Así que $B_d(0,r)= X$ para todos $r>0$ mientras que $B_d(1,1)=\{1\}$ para que $X$ obtiene la llamada topología de Sierpinski que tiene un singleton no cerrado $\{1\}$ . Este $X$ también es cuasi-polaco (cualquier secuencia converge a $0$ al fin y al cabo), por lo que es un ejemplo para la 2.

En cuanto a la 1., todavía no estoy muy seguro. La línea de Sorgenfrey es un espacio cuasi-métrico no polaco, pero no tiene una base contable, por lo que no puede ser cuasi-polaco en la definición de ese documento.