Aclaración del lema de Riemann Lebesgue

Question

Si $f$ es una función continua de valor real, ¿el lema de Riemann Lebesgue nos da que $\int_{m}^k f(x) e^{-inx}\,dx \rightarrow 0\text{ as } n\rightarrow \infty$ para todos $m\le k$ ? Concretamente, ¿es esto cierto para cualquier función continua, sea o no periódica?

Editado.

Answer 1

Si $f$ es integrable por Lebesgue en $[r,s]$ entonces el resultado sigue siendo verdadero. Se puede demostrar por aproximación. Para $\epsilon > 0$ existe una función continuamente diferenciable $g$ en $[r,s]$ tal que $\int_{m}^{k}|f-g|dx < \epsilon/2$ . Y, como $n\rightarrow\pm\infty$ , $$\int_{r}^{s}e^{-inx}g(x)dx = \left.\frac{e^{-inx}}{-in}g(x)\right|_{x=r}^{s}-\int_{r}^{s}\frac{e^{-inx}}{-in}g'(x)dx \rightarrow 0$$ Esto realmente no tiene nada que ver con los enteros. Se puede suponer $m,k,n$ son todos reales si quieres, y obtienes el mismo resultado: $$\left|\int_{r}^{s}e^{-inx}f(x)dx\right| \le \int_{r}^{s}|f(x)-g(x)|dx + \left|\int_{r}^{s}e^{-inx}g(x)dx\right| < \epsilon$$ si $|n|$ se elige lo suficientemente grande como para que la segunda integral de la derecha esté acotada por $\epsilon/2$ .