Límite inverso de los módulos y producto del tensor

Question

Que $(M_n)_n$ ser un sistema inverso de módulos finitamente generados sobre un anillo comutativo $A$ y $I\subset A$ un ideal.

Cuando es el homomorfismo canónico

$$\left(\varprojlim\nolimits_n M_n\right)\otimes_A A/I \rightarrow \varprojlim\nolimits_n \left(M_n \otimes_A A/I\right)$$

¿un isomorfismo?

¿Qué se necesita? ¿Por ejemplo, todas las %#% plana $M_n$ #% o condiciones especiales sobre $A$ y $A$?

Answer 1

No es cierto en general que el producto tensor conmuta con projecive límites.

E. g. considere la posibilidad de $\mathbb Z_p := \projlim_n \mathbb Z/p^n.$ Tenemos que $\mathbb Z_p \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Q$ es distinto de cero; es el campo de $\mathbb Q_p$.

Por otro lado $\mathbb Z/p^n \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Q = 0$ para cada valor de $n$.

Por otro lado, supongamos que los módulos de $M_n$ son de longitud finita, y que $N$ es finitely presentado. A continuación, $(\varprojlim_n M_n)\otimes_A N \to \varprojlim_{n} M_n\otimes N$ es un isomorfismo.

Para ver esto, elija un número finito de presentación de $A^r \to A^s \to N \to 0$$N$.

A continuación, tenemos que mostrar que la cokernel de $\varprojlim_n M_n^r \to \varprojlim_n M_n^s$ es isomorfo a la proyectiva límite de la cokernels de los mapas de $M_n^r \to M_n^s$. Esto se desprende de la longitud finita de la asunción, que se muestra (la aplicación de Mittag--Leffler) que el proyectiva límite de la cokernels es, de hecho, la cokernel de la proyectiva límites.

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Ahora supongamos que $I$ es finitely generado (por ejemplo, suponga $A$ es Noetherian). A continuación, $A/I$ es finitely presentada, y por tanto, si el $M_n$ son además longitud finita, la natural mapa de preguntar acerca de es un isomorfismo.