Geodésicas de Kähler

Question

Consideremos la variedad de Kähler en coordenadas $(a,b)$ dada por la métrica compleja de Riemann $$\begin{pmatrix} \frac{1}{1-|a|^2}&\frac{1}{1-a\bar{b}}\\\frac{1}{1-\bar{a}b}&\frac{1}{1-|b|^2}\end{pmatrix}.$$

Por razones estadísticas, exigimos que $(a,b)$ estar en el disco unitario en el plano complejo.

¿Cuáles son las geodésicas de este colector?

Answer 1

Lo único que hay que hacer es encontrar los símbolos de Christoffel, definidos por

$$\Gamma_{\rho\tau}^\mu=\frac{1}{2}g^{\mu\nu}\left(\frac{\partial g_{\nu\rho}}{\partial x^\tau}+\frac{\partial g_{\nu\tau}}{\partial x^\rho}-\frac{\partial g_{\rho\tau}}{\partial x^\nu}\right)$$

donde $g_{\mu\nu}$ es el tensor métrico que tiene arriba. Entonces, para los símbolos no nulos, puedes introducirlos en la ecuación diferencial geodésica:

$$\frac{\partial^2x^\mu}{\partial\sigma^2}+\Gamma_{\rho\tau}^\mu\frac{\partial x^\rho}{\partial\sigma}\frac{\partial x^\tau}{\partial\sigma}=\gamma(\sigma)\frac{\partial x^\mu}{\partial\sigma}$$

donde la geodésica está parametrizada por $\sigma$ y $\gamma(\sigma)=0$ si $\sigma$ es afín (no hay que suponerlo desde el principio). Normalmente se puede dividir la ecuación geodésica en varias ecuaciones diferenciales basadas en lo que son los símbolos de Christoffel, y luego explotar las simetrías para simplificarlas. A continuación, elija el $a$ o $b$ coordenada como su parámetro $\sigma$ y resolver las ecuaciones diferenciales.