Encontrar el error relativo de $\cos^2x-\sin^2x$

Question

Encuentre el error relativo al almacenar seis dígitos en la mantisa utilizando el redondeo de $\cos^2x-\sin^2x$ donde $x=0.7854$

Así que $f(0.7854)=-3.673205105\cdot 10^{-6}$

Y $fl(0.7854)=(0.7071)^2-(0.7071)^2=0$

Así que el error relativo es $$\frac{\mid -3.673205105\cdot 10^{-6}-0\mid}{\mid -3.673205105\cdot 10^{-6}\mid}=100\%$$

Pero la respuesta en el libro es $36%$ ¿en qué me equivoqué?

Answer 1

Necesitas redondear todos los valores intermedios a 6 dígitos de mantisa, por alguna razón sólo usaste 4:

Para el resultado exacto, como usted dijo

cos(2*0.7854)
 = -3.6732051033465739e-06

Para el primer paso, los valores trigonométricos son

(cos(0.7854), sin(0.7854))
 = (0.70710548251123628, 0.70710807985947355)

Ahora redondea a 6 dígitos después del punto decimal y el cuadrado

(0.707105**2, 0.707108**2)
 = (0.49999748102499997, 0.500001723664)

y calcular la diferencia de los cuadrados, redondeada de nuevo a 6 dígitos

0.499997-0.500002
 = -4.999999999921734e-06

El error relativo es, pues, el siguiente

-4.999999999921734e-06/-3.6732051033465739e-06-1
 = 0.36120904203425686

es decir, la anunciada $36\%$ .