Cualquier haz de líneas complejas suaves sobre una variedad suave es un subfondo de un haz trivial

Question

En el libro Paquetes vectoriales y teoría K de Hatcher, se demuestra (Proposición 1.4) que para cualquier haz vectorial (continuo) $E\to B$ con $B$ un espacio compacto de Hausdorff, $E$ es un subfondo de un haz trivial. También se observa que esto puede fallar cuando $B$ es no compacto: el haz de líneas canónico sobre $\Bbb RP^\infty$ es un ejemplo que falla.

Pero tengo curiosidad por la siguiente situación especial: Supongamos que $L$ es un haz de líneas complejas (suaves) sobre una variedad suave $M$ . Entonces, ¿es cierto que $L$ es un subfondo de un haz trivial (complejo) sobre $M$ ?

Answer 1

Sí, siempre que $M$ es de dimensión finita y suave. La propiedad clave es que un haz vectorial sobre dicha variedad puede ser cubierto por un finito conjunto de trivializaciones locales $\{(U_i,\varphi_i)\}_{i=1}^N$ (ver esta respuesta para más detalles). Armado con estas trivializaciones, uno puede incrustar $L$ en $M\times\mathbb{C}^N$ utilizando particiones de la unidad.