Si $AB=BA$ dado $B$ es no singular y una matriz bidimensional podemos concluir que $A$ es un múltiplo escalar de $B^{-1}$ o un múltiplo escalar de la identidad $I$ ¿o una combinación lineal de ambos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
WSL
Puntos
1449
No, tenemos el subgrupo de $GL_2$ de matrices de la forma
$\left(\begin{array}[cc]\\ 1&x\\0&1 \end{array}\right).$
Se trata de una colección de matrices invertibles conmutables, por lo que para cualquier $A, B$ de esta forma, tenemos $AB=BA$ con $B$ no singular. Pero $A$ no es un múltiplo escalar de $B^{-1}$ ni una matriz escalar.
Editar: Dada la motivación mencionada, sugiero trabajar lo que debe ser cierto con coordenadas:
$B = \left(\begin{array}[cc]\\ a&b\\c&d \end{array}\right), A = \left(\begin{array}[cc]\\ x&y\\z&w \end{array}\right) $ , y resolver lo que debe ser cierto de $A$ .
Supongamos que $B$ no es escalar, de lo contrario cualquier matriz $A$ satisfará la identidad. Para un $B$ , considere el mapa lineal $$ f(A)=AB-BA $$ del espacio vectorial de $2\times 2$ matrices a sí mismo. Dado que $B$ no es escalar, existe una matriz $A$ no se desplaza con $B$ por lo que el rango de $f$ es al menos $1$ .
Las matrices $I$ , $B$ pertenecen al núcleo de $f$ y son linealmente independientes. Calculemos $f$ en las matrices estándar $$ E_1=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\quad E_2=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\quad E_3=\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix},\quad E_4=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix} $$ Tenemos $$ f(E_1)=\begin{bmatrix}0&b\\-c&0\end{bmatrix}, f(E_2)=\begin{bmatrix}c&-a+d\\0&-c\end{bmatrix}, f(E_3)=\begin{bmatrix}-b&0\\a-d&b\end{bmatrix}, f(E_4)=\begin{bmatrix}0&-b\\c&0\end{bmatrix} $$ por lo que el rango de $f$ es el mismo que el rango de la matriz $$ \begin{bmatrix} 0 & b & -c & 0 \\ c & -a+d & 0 & -c \\ -b & 0 & a-d & b \\ 0 & -b & c & 0 \end{bmatrix} $$ donde $B=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$ .
No es difícil demostrar que el rango de la matriz es $2$ si $b\ne0$ o $c\ne0$ : sólo considera la parte superior derecha o inferior izquierda $2\times2$ menores de edad. Si $b=c=0$ entonces sabemos que $a\ne d$ Así que, de nuevo, el rango es $2$ considerando la central $2\times2$ menor.
Así, cualquier matriz del núcleo es una combinación lineal de $I$ y $B$ o de $I$ y $B^{-1}$ porque también $I$ y $B^{-1}$ son linealmente independientes y en el núcleo.
