Si sup A $\lt$ sup B demuestran que un elemento de $B$ es un límite superior de $A$

Question

(a) Si sup A < sup B, demuestre que existe un elemento de $b \in B$ que es un límite superior para $A$ .

He argumentado que si sup A $\lt$ sup B, entonces elige un $\epsilon>0$ tal que sup A + $\epsilon \in B$ . Desde $a \le $ sup A para todos $a \in A$ se deduce que $a \lt $ sup A + $\epsilon$ por lo que sup A + $\epsilon $ es un límite superior de A así como un elemento de B.

(b) Dé un ejemplo para demostrar que esto no siempre es así si sólo suponemos que sup A $\le$ sup B.

Tengo problemas para extender mi argumento a un ejemplo que me hace pensar que puede no ser correcto.

Pregunta: ¿Es correcto mi argumento para (a)? Si no es así, ¿cómo se puede demostrar este hecho? ¿Puede dar un ejemplo de lo que se pide en (b)? Gracias de antemano.

Necesito entender cómo estoy asumiendo lo que se supone que debo probar en mi enfoque. ¿Puede alguien explicar esto, por favor? La otra pregunta no aborda realmente esta cuestión.

Answer 1

La razón por la que tu argumento es circular es que has afirmado la existencia de tu $\epsilon$ sin ningún argumento de apoyo. Este es realmente el quid de la prueba, ya que una vez que has encontrado $b\in B$ con $b > \sup A$ se deduce rápidamente que $b$ es un límite superior para $A$ . Yo sugeriría el siguiente tipo de argumento para la primera parte:

Desde $\sup A < \sup B$ , $\sup A$ no es un límite superior para $B$ . De ello se deduce que existe $b\in B$ tal que $b > \sup A$ .

La primera frase se justifica por la definición del supremum, y la segunda por la negación de la definición de un límite superior. Una frase más debería bastar para demostrar que $b$ es un límite superior para $A$ .

Para la segunda parte: La relajación de la desigualdad estricta sólo permite una nueva posibilidad: $\sup A = \sup B$ . ¿Qué puede salir mal en este caso? Hay que tener en cuenta que, en general, un conjunto no tiene por qué contener su supremacía.

Answer 2

Dejemos que $\sup B=s $ . Entonces, para cualquier positivo $\epsilon $ hay un $b\in B $ tal que $s-\epsilon <b $ . Elija $\epsilon=s-\sup A>0$ . Entonces $\sup A <b $ así que para todos $a\in A $ , $a\leq b $ .

Para b toma $A=B=(0,1)$ como señala Clemente C en los comentarios anteriores.Es evidente que ningún elemento de $B $ es un límite superior para $B $ (es decir $A $ ) (1 es el mínimo límite superior, pero no pertenece al conjunto, ni tampoco ningún límite mayor).