En Hardy Matemáticas Puras, Hardy describe el límite $$\lim_{n\to\infty}\sin (2^{n}\theta\pi)$$ and says that if this limit exists it must be zero and then $\theta$ must be a rational number whose denominator is a power of $2$. Then he asks the reader to consider the limit $$\lim_{n\to\infty}\sin (a^{n}\theta\pi)$$ where $un$ is an integer greater than $2$.
También se menciona que cuando se $a > 2$ a continuación, el límite puede ser distinto de cero y como un ejemplo Hardy dice que si $a = 9$$\theta = 1/2$, entonces el límite anterior es $1$. En este caso me razonada (basado en Hardy técnica para el caso de $a = 2$ $\lim_{n\to\infty}\sin((9^{n}\pi)/2)$ $1$ sólo cuando podemos escribir $$\frac{9^{n}\pi}{2} = 2b_{n}\pi + \frac{\pi}{2} + c_{n}$$ for all sufficiently large values of $n$, where $\{b_{n}\}$ is a sequence which takes only integer values and $\{c_{n}\}$ is a sequence which tends to zero as $n \to \infty$. Así tenemos
$\displaystyle \begin{aligned}9^{n}\pi &= 4b_{n}\pi + \pi + 2c_{n}\\ \Rightarrow (9^{n} - 1)\pi &= 4b_{n}\pi + 2c_{n}\end{aligned}$
Desde $9^{n} - 1$ es divisible por $9 - 1 = 8$ y, por tanto, también por $4$, se sigue que no puede tomar $b_{n} = (9^{n} - 1)/4$$c_{n} = 0$. La misma lógica podría aplicarse al $a$ es cualquier entero de la forma$a = 4m + 1$$\theta = 1/2$.
Pero, y esta es mi pregunta, ¿cómo hace uno para manejar el caso general entero $a > 2$ y real de la $\theta$ racional o irracional?
EDIT: también debo dar más detalles para que los lectores tengan el contexto completo. Para el caso específico al $a = 2$ Hardy razones que si el límite existe y dicen que es igual a $l$, entonces tenemos que tener en $|l| \leq 1$, de modo que tenemos una constante $\alpha = \sin^{-1} l$ acostado en el intervalo de $[-\pi/2, \pi/2]$. Ya que la solución de $\sin x = \sin \alpha$ está dado por $x = m\pi + (-1)^{m}\alpha$ para todos los enteros $m$, podemos ver que la existencia de límite de $l$ implica que $$2^{n}\theta\pi = b_{n}\pi + (-1)^{b_{n}}\alpha + c_{n}$$ where $b_{n}$ takes integer values and $c_{n} \to 0$ as $n\to\infty$. We can now see that $$2^{n}\theta = b_{n} + (-1)^{b_{n}}\beta + d_{n}$$ where $\beta = \alpha/\pi$ so that $\beta \en [-1/2, 1/2]$ and $d_{n} = c_{n}/\pi \a 0$ as $n \to\infty$. Hardy somehow assumes that $b_{n}$ siempre será aún y, a continuación, se procede de la siguiente manera:
$\displaystyle 2^{n}\theta = b_{n} + \beta + d_{n}$ , de modo que la multiplicación por $2$ da
$\displaystyle 2^{n + 1}\theta = 2b_{n} + 2\beta + 2d_{n}$ y también tenemos
$\displaystyle 2^{n + 1}\theta = b_{n + 1} + \beta + d_{n + 1}$ y por lo tanto, tenemos
$\displaystyle (b_{n + 1} - 2b_{n}) - \beta + (d_{n + 1} - 2d_{n}) = 0$
Después de esta Hardy utiliza simples argumentos para demostrar que $\beta = 0$ $d_{n}$ debe ser idénticamente cero a partir de un cierto valor de $n = n_{0}$, de modo que $2^{n_{0}}\theta = b_{n_{0}}$ e lo $\theta$ es racional con denominador una potencia de $2$.
En la de arriba no entiendo por qué se supone $b_{n}$ incluso. También creo que el argumento puede ser continuado sin asumir la paridad de $b_{n}$ pero no estoy seguro. Me pregunto cómo esto puede ser llevada adelante por los valores más altos de $a$.
