Hay un excelente artículo expositivo de Peter Scott titulado " Las Geometrías de los 3-Manifolds ." La primera sección se dedica a hablar de la uniformización de las superficies (que es lo que te interesa), y también habla de los 2-Oribfolds, que son lo que se obtiene cuando la acción del grupo es propiamente discontinua pero no libre. El resto del artículo es ciertamente una buena lectura, pero no es realmente relevante para lo que has preguntado. Sin embargo, lo más importante es que esboza una prueba de la uniformazación para las superficies. La idea básica es que el único grupo que actúa bien sobre $S^2$ es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ con el cociente $P^2$ . Además, los grupos discretos de isometrías de $\mathbb{R}^2$ con cociente compacto son isomorfos a un grupo con un subgrupo de índice finito isomorfo a $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ Entonces se pueden clasificar las isometrías del plano hiperbólico, $\mathbb{H}^2$ y demostrar que $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ no puede ser un subgrupo discreto que preserve la orientación de $Isom(\mathbb{H}^2)$ y, por tanto, el toro y la botella de Klein no pueden admitir una estructura hiperbólica. Además, es fácil demostrar (con la clasificación de isometrías hiperbólicas) que otras superficies sí admiten estructuras hiperbólicas.
Además, para que te hagas una idea de por qué son importantes la gratuidad y la discontinuidad, te ayudará ver algunos ejemplos. En primer lugar, considere $\mathbb{R}^2$ y que $G$ sea el grupo generado por la rotación alrededor del origen a través del ángulo $2\pi/n$ . Esta acción tiene un punto fijo en el origen. Topológicamente, el cociente es simplemente $\mathbb{R}^2$ pero tiene un punto de cono con ángulo $2\pi/n$ en el origen, por lo que geométricamente es diferente. Este tipo de espacio es lo que se conoce como orbifold.
Sin una discontinuidad adecuada, las cosas se ponen aún peor. Considere $S^1$ y el grupo $G$ generado por la rotación a través de un múltiplo irracional de $\pi$ . El cociente resultante no es ni siquiera Hausdorff (la órbita de un punto bajo $G$ es denso en $S^1$ ), y generalmente queremos evitar ese tipo de cosas.
En la dimensión 3, las cosas se ponen un poco más difíciles, pero la geometrización sigue funcionando. Una muy buena referencia para esta dimensión es "3 Dimensional Geometry and Topology" de William Thurston, que es fácilmente uno de mis libros de matemáticas favoritos.
En la dimensión 4, el mismo tipo de enfoque es mucho más difícil. La razón es que, en las dimensiones 2 y 3, tenemos bastante control sobre los tipos de grupos que aparecen como grupos fundamentales de las variedades (cerradas). Se puede demostrar (no recuerdo la referencia, quizás alguien la tenga) que para cualquier grupo de presentación finita $G$ existe una 4-manifold cerrada $M$ con $\pi_1(M) = G$ . Por lo tanto, no tenemos el tipo de configuración como en dimensión 2 donde sabemos qué grupos fundamentales surgen, y luego mostrar que son isometrías de uno de los tres espacios modelo.
Espero que esto ayude.
