Los divisores de la izquierda son divisores de la derecha en un álgebra donde cada elemento es algebraico

Question

Dejemos que $A$ sea un álgebra con $1$ sobre un campo $K$ que es algebraico sobre $K$ . Demuestre que si $a$ es un divisor de la izquierda, entonces $a$ es un divisor de la derecha.

He intentado utilizar un enfoque similar al de Producto de números algebraicos Así que dejemos $K[a,b]$ sea la subálgebra generada por $a$ y $b$ donde $ab=0$ , $b\neq 0$ . ¿Estoy en lo cierto de que esto es de nuevo abarcado por $\{b^ia^j0i<m,0j<n\}$ , donde $a$ es la raíz de un $n$ -polinomio de grado sobre $K$ y $b$ es la raíz de un $m$ -polinomio de grado sobre $K$ ? Si tenemos $ab$ apareciendo todo el término se hace cero, por lo que podemos tener simplemente $b^ka^l$ 's y, de nuevo, las potencias más altas se pueden expresar utilizando las ecuaciones polinómicas.

Ahora he considerado el mapa de $K[a,b]$ a sí mismo, enviando $x$ a $ax$ que no es inyectiva, por lo que no es suryectiva debido a la dimensionalidad finita. Pero, ¿cómo puedo proceder a partir de aquí? (Me gustaría evitar los anillos artinianos)

Answer 1

Sí, se puede aplicar la misma lógica para concluir que $K[a,b]$ es artiniano, y los anillos artinianos también tienen la propiedad de que cada elemento es una unidad o un divisor cero (de dos caras). Véase este por ejemplo.

Para tratar de cortocircuitar con un argumento más específico como el de tu post anterior, si $a$ como un homomorfismo de izquierda $x\mapsto xa$ es uno a uno (tendría que serlo si no es un divisor cero a la derecha) entonces por la misma lógica que la última vez también es onto, y entonces necesariamente existe un $c$ tal que $1=ca$ .

Entonces $ab=0$ se convierte en $b=0$ después de multiplicar por la izquierda con $c$ . Por lo tanto, esto contradice la suposición de que $a$ es un divisor cero a la izquierda.