La notación de Einstein y la escritura de la ecuación geodésica: ¿un malentendido?

Question

Si se quiere escribir la ecuación geodésica para describir el movimiento de los planetas (para i=1 en el siguiente contexto) se utiliza el tensor métrico $g_{ik}$ para coordenadas de simetría esférica.

A continuación, se pasa a calcular los símbolos de Christoffel según

$$\Gamma^i_{kl}=\frac{1}{2}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}\right)$$

Mi pregunta ahora es:

He aprendido que si hay alguna expresión escrita utilizando la notación de Einstein, hay que sumar sobre la variable de 0 a 3 si la variable es una letra griega (por ejemplo $\nu, \mu$ ). Si la variable es una letra normal (por ejemplo $k,l$ ) hay que sumar de 1 a 3. ¿Significa esto entonces que al calcular los símbolos de Christoffel para la ecuación geodésica, no es necesario calcular $\Gamma^0_{00}$ por ejemplo, porque esto sería $k=l=0$ ? Por otro lado esto me parece impar...

Answer 1

La convención de suma de Einstein postula que si una etiqueta de índice aparece tanto en una posición "arriba" como "abajo", debe sumarse. Esta parte de la convención es más o menos inequívoca. A veces ocurre que se repiten los índices y se hace no quiere sumar, pero entonces debe poner una nota junto a sus ecuaciones.

Ahora, la convención mucho menos unificada de la denominación de las etiquetas griegas/latinas. Sí, mucha gente utiliza el convención que los caracteres latinos de la segunda mitad del alfabeto ( $i,j,k,l,m,...$ ) significan "componentes espaciales" ( $1,2,3$ ), mientras que $\mu,\nu$ corresponden a toda la gama de componentes espacio-temporales $0,1,2,3$ . Sin embargo, esto es no ¡unificado! Por ejemplo, una alternativa muy común es utilizar pequeños caracteres latinos del principio del alfabeto ( $a,b,c,d,...$ ) para denotar toda la gama de componentes espacio-temporales.

Ahora bien, en el ejemplo que das, el índice $m$ debe recorrer toda la gama de componentes disponibles en el colector (que supongo que es $0,1,2,3$ si está en un colector 4D), de lo contrario la expresión simplemente no es válida en general. (Sin embargo, su contexto puede ser especial, como que todos los $g^{0\mu}$ componentes de la métrica desaparecen).