grupos y elementos cíclicos

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo cíclico de orden 6. ¿Cuántos de sus elementos generan $G$ ? Este era un viejo problema que tenía. Sé que $G=\{1, g, g^2, g^3, g^4, g^5\} $ y tener una respuesta escrita que $g$ y $g^5$ son el orden $6$ . ¿Pero por qué?

Answer 1

Todos los elementos del orden $k$ en un grupo cíclico de orden $n$ , de tal manera que $n$ y $k$ son relativamente primos, generan el grupo. Así, usando su notación, $g$ y $g^5$ generar el grupo.

Answer 2

Bueno, $g^2$ no puede generar todo el grupo, porque $g^2*g^2$ = $g^4$ y $g^2*g^2*g^2$ = $g^6$ = $1$ . De la misma manera, $g^3*g^3$ = $1$ y $g^4*g^4$ = $g^2$ y $g^4*g^4*g^4$ = $1$ .

De ello se desprende que $g^2$ , $g^3$ y $g^4$ no pueden generar todos los elementos de G, porque no crean $g^5$ . Puede confirmar que $g^5$ y $g$ generan realmente cada elemento.

Como ha señalado otra respuesta, esto se debe a que 1 y 5 son los únicos números menores que 6 que son primos de 6.