¿Cómo puedo estimar el log10 del elemento 8 mil millones de A000670?

Question

¿Cómo puedo estimar el log10 del elemento 8 mil millones de A000670 como un número real? Creo que está entre 10 y 100, pero no estoy seguro de por qué creo esto.

Me doy cuenta http://oeis.org/A000670 ofrece algunas aproximaciones de A000670 (en términos de n), pero nada que lleve rápidamente a un valor real de valor de log10(log10(a(n))

Objetivo: Estoy tratando de calcular el número de posibles "prejuicios" en el mundo, y es el enésimo elemento de A000670, donde n es la actual población mundial actual. No necesito un número exacto, sólo algo como 10^(10^r) [al valor entero más cercano para r], y estoy estimando n en unos 8 mil millones ahora mismo.

Idealmente, me gustaría una buena estimación general de log10(log10(a(n))) pero eso puede ser pedir demasiado.

EDIT: ¡Es fácil demostrar que A000670 está limitado por 2^n*n! (también conocido como http://oeis.org/A000165 ), pero este vínculo es flojo y poco útil.

http://oeis.org/A000670 observa "Los denominadores no reducidos en convergentes a log(2) = lim[n->inf, na(n-1)/a(n)]". ¿Significa esto que n!*log(2)^n ¿sería una estimación, al menos en términos de orden de magnitud? Parece un poco bajo. Como log(2) < 1 esto no puede ser correcto. Tal vez

n!/(log(2)^n)

Answer 1

Véase, por ejemplo, Wilf's Generación de funcionalidades , p. 175, Ejemplo 5.2.1 "Números de campana ordenados" para la asintótica $$a(n) = n! \left(\frac{1}{2 \ln(2)^{n+1}} + O(0.16^n)\right).$$

Simplemente surge de observar la "singularidad principal" de la función generadora exponencial. Esta aproximación es especialmente excelente, ya que la primera corrección crece exponencialmente, mientras que la restante decae exponencialmente.

Heurísticamente, la aproximación de Stirling dice $\log_{10} \log_{10} (8 \cdot 10^9)!$ va a ser del orden del exponente, es decir, 9 -de hecho, Mathematica me dice que es 10,879...- y las correcciones sólo van a contribuir quizás un poco, ya que incluso el crecimiento exponencial no es nada comparado con el crecimiento de $n!$ así que el número entero más cercano será definitivamente 11.

Pero podemos ser más precisos y demostrarlo. El análisis de la singularidad da más de lleno

$$a(n) = \frac{n!}{2} \sum_{k=-\infty}^\infty \frac{1}{(\ln 2 + 2 \pi i k)^{n+1}},$$

el $k=0$ cuyo término da la asíntota anterior. Por lo tanto,

$$\frac{1}{n!}\left|a(n) - \frac{1}{2 \ln(2)^{n+1}}\right| \leq \sum_{k=1}^\infty |\ln 2 + 2\pi i k|^{-(n+1)} < \sum_{k=1}^\infty (2\pi k)^{-(n+1)} = \frac{\zeta(n+1)}{(2\pi)^{n+1}}$$

donde $\zeta$ es la función zeta de Riemann. Ésta dice

$$\log_{10} \log_{10} a(8 \cdot 10^9) = \log_{10} \log_{10} (8 \cdot 10^9)! \left(\frac{1}{2 \ln(2)^{8 \cdot 10^9+1}} \pm \frac{\zeta(8 \cdot 10^9 + 1)}{(2\pi)^{8 \cdot 10^9}}\right).$$

Mathematica se complace en calcular $\log_{10} \log_{10}$ de esta expresión, digamos con 40 dígitos de precisión. También he incluido algunas expresiones relacionadas.

Así que, sí, la respuesta es 11.

Answer 2

¿Qué tan cerca quieres estar? Si usamos Stirling en su límite superior, queremos $\log_{10}\log_{10}\frac{2^{8E9}8E9^{8E9}}{e^{8E9}}\sqrt {2\pi 8E9}= \log_{10}8E9(\frac 12+ \log_{10}\frac {16E9}e)+\frac 12\log_{10} 2\pi\approx 9+\log_{10}8+1\approx 11$

Answer 3

El comentario de la OEIS

Unreduced denominators in convergent to log(2) = lim_{n->infinity} n*a(n-1)/a(n).

sugiere que podría haber una aproximación asintótica proporcional a $\frac{n!}{\log(2)^n}$ - parece que has puesto accidentalmente el $\log(2)$ en el numerador. Esto es correcto y también dice OEIS A000670 ofrece algunas aproximaciones. Una de ellas es especialmente buena, y coincide con el comentario anterior:

a(n) is asymptotic to (1/2)*n!*log_2(e)^(n+1), where log_2(e) = 1.442695... [Barthelemy80, Wilf90].

es decir $\dfrac{ n! }{2\, \log_e(2)^{n+1}}$

Por ejemplo, mientras que el término real para $n=10$ es $102247563$ la aproximación da $102247563.005271$ es casi idéntica, y el error relativo se reduce para los casos de $n$ .

Si se aplica la fórmula asintótica a $n=8 \times 10^9$ se obtiene alrededor de $3.6\times 10^{77023760357}$ que tiene una base- $10$ logaritmo de aproximadamente $77023760357.557 \approx 7.7\times 10^{10}$ y la base $10$ logaritmo de esa base- $10$ logaritmo es entonces alrededor de $10.8866247$

Si aplica su límite superior de $2^n\, n!$ a $n=8 \times 10^9$ se obtiene alrededor de $2.4\times 10^{78158604011}$ que tiene una base- $10$ logaritmo de aproximadamente $78158604011.372 \approx 7.8\times 10^{10}$ y la base $10$ logaritmo de esa base- $10$ logaritmo es entonces alrededor de $10.8929768$

Hay un límite inferior obvio de $n!$ (ordenamientos estrictos) y aplicarlo a $n=8 \times 10^9$ se obtiene alrededor de $1.1\times 10^{75750364046}$ que tiene una base- $10$ logaritmo de aproximadamente $75750364046.060 \approx 7.6\times 10^{10}$ y la base $10$ logaritmo de esa base- $10$ logaritmo es entonces alrededor de $10.8793847$

Así que la respuesta está entre $10^{10^{10}}$ y $10^{10^{11}}$ aunque se puede ser mucho más preciso que eso.