Definiciones de un régimen de grupo

Question

No entiendo por qué las dos definiciones siguientes de los regímenes de grupo son equivalentes:

$Def\space 1$ : Dejemos que $S$ sea un esquema. Un esquema de grupo sobre $S$ es un $S$ -sistema $G$ equipado con $S$ -mapas $m:G\times_SG\to G$ y $i:G\to G$ satisfaciendo algunas identidades y asociatividades naturales.

$Def\space2$ : Dejemos que $S$ sea un esquema. Un esquema de grupo sobre $S$ es un $S$ -sistema $G$ tal que para cualquier $S$ -sistema $S^\prime$ el conjunto $G(S^\prime)={Hom}_S(S^\prime, G)$ tiene una estructura de grupo funtorial en $S^\prime$ .

La segunda definición proviene de la observación de las notas de Brian Conrad sobre las variedades abelianas. No estoy seguro de si he entendido mal alguna parte. Ahora estoy confundido sobre por qué la segunda definición implica la primera. Espero su respuesta. Gracias

Answer 1

Te falta un "neutro $S$ -mapa" $S \rightarrow G$ en su primera definición.

Para pasar de la segunda definición a la primera, tomemos como mapa neutro $\nu: S \rightarrow G$ es el elemento neutro de $G(S)$ . Tome como mapa inverso $i: G \rightarrow G$ la inversa de la identidad en el grupo $G(G)$ . Tome como mapa de multiplicación $m: G\times_S G \rightarrow G$ el producto (en el grupo $G(G\times_S G)$ ) de la primera y la segunda proyección.

Dejaré que compruebes que la asociatividad y las identidades neutras se satisfacen.

Answer 2

Hay una definición mucho más general que se aplica a las categorías que tienen productos finitos y objetos terminales que sólo los esquemas. Sea $\mathcal{C}$ sea una categoría con productos finitos y objetos terminales $Z$ . Un grupo de objetos en $\mathcal{C}$ es un objeto $G$ y tres morfismos $\mu:G \times G \to G, G \to G, Z \to G$ (multiplicación, inversa y elemento de identidad) que satisfacen ciertos diagramas conmutativos como en el caso de los esquemas.

Teorema . Dejemos que $\mathcal{C}$ sea una categoría con productos finitos y objetos terminales $Z$ . Un objeto $G$ en $\mathcal{C}$ es un objeto de grupo si y sólo si $\mathrm{Hom}(\square,G)$ toma valor en $\mathbf{Groups}$ - la categoría de grupos. En este caso, la multiplicación $$\mathrm{Hom}(X,G) \times \mathrm{Hom}(X,G) \to \mathrm{Hom}(X,G)$$ viene dada por $(f,g) \mapsto \mu(f\times g)$ , donde $f \times g: X \to G \times G$ viene dada por la propiedad universal del producto.

Tal vez quieras demostrar el teorema anterior por ti mismo. Es sencillo.

Answer 3

Que la segunda definición implica la primera es una aplicación del lema de Yoneda. De hecho, si el functor $G(-)$ toma valores en la categoría de grupos, entonces se obtienen transformaciones naturales $m\colon G(-)\times G(-)\to G(-)$ , $i\colon G(-)\to G(-)$ y $e\colon S(-)\to G(-)$ que satisfacen los axiomas de su primera definición en el nivel de funtores de conjunto-valor sobre la categoría de $S$ -esquemas. Entonces el lema de Yoneda implica que los mapas $m, i$ y $e$ provienen de mapas de la categoría de $S$ - esquemas que satisfacen las mismas relaciones.