Encontrando $\lim_{k\to \infty}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+e^{-kx}} \frac{1}{1+x^2} dx$

Question

Estoy tratando de encontrar $\lim\limits_{k\to \infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+e^{-kx}} \frac{1}{1+x^2} dx$ .

El límite dentro de la integral es $0$ para $x<0$ y $\frac{1}{1+x^2}$ para $x>0$ . Si $x=0$ el límite es $\frac12$ pero esto no debería importar.

Estoy estudiando para hacer un análisis real a finales de este mes. Este problema es el #2 de aquí .

Answer 1

Tenga en cuenta que $\left|\frac{1}{1+e^{-kx}}\right|\le 1$ para que $\left|\frac{1}{1+e^{-kx}}\frac1{1+x^2}\le \frac1{1+x^2}\right|\le \frac1{1+x^2}$ . En la medida en que $\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}\,dx$ converge, el Teorema de Convergencia Dominada garantiza que

$$\lim_{k\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+e^{-kx}}\frac1{1+x^2}\,dx=\int_{-\infty}^\infty \lim_{k\to\infty}\left(\frac{1}{1+e^{-kx}}\frac1{1+x^2}\right)\,dx$$

Y ya puedes terminar.