La convergencia en la probabilidad no implica la convergencia en la media cuadrática: Contraejemplo

Question

El siguiente contraejemplo debería mostrar que la convergencia en probabilidad no implica la convergencia en media cuadrática: $$X_i=\begin{cases}0, & \text{with probability } 1-\frac{1}{i}\\ i, & \text{with probability } \frac{1}{i} \end{cases}$$

Estoy teniendo problemas para demostrar lo aparentemente simple, que esta variable aleatoria converge en probabilidad a 0. Usando la desigualdad de Markov:

$$P(|X_i-0|>\varepsilon)\leq \frac{1}{\varepsilon}E[|X_i|] =\frac{1}{\varepsilon}\big(0\cdot \big(1-\frac{1}{i}\big) + i \cdot \frac{1}{i}\big)=\frac{1}{\varepsilon}$$

Tomando el límite como $i\to \infty$ no da 0 como se esperaba. ¿Qué estoy haciendo mal?

Estoy bastante seguro de que he mostrado correctamente $X_i$ no converge en la media cuadrática. ¿Puede comprobar mi trabajo?

$$\lim_{i\to\infty} E[|X_i-0|^2]=\lim_{i\to\infty} E[X_i^2]=\lim_{i\to\infty} 0^2\cdot \big(1-\frac{1}{i}\big) + i^2 \cdot \frac{1}{i} = \infty$$

Answer 1

Si $X$ denota una variable aleatoria constante (o degenerada) entonces: $$X_i\stackrel{d}{\to}X\iff X_i\stackrel{p}{\to} X$$ por lo que para demostrar que $X_i\stackrel{p}{\to} 0$ basta con demostrar que $F_{X_i}(x)$ converge a $1$ si $x>0$ y converge a $0$ si $x<0$ (que es bastante fácil).

Answer 2

Para demostrar la convergencia en probabilidad, no se necesita la desigualdad de Markov. Basta con mirar la definición de $X_i$ : $$P(|X_i-0|>\epsilon)\le P(X_i \ne 0)$$ ya que el evento de la izquierda implica el evento de la derecha, y el evento de la derecha tiene una probabilidad fácil.

En cuanto a tu segunda prueba, es correcta siempre que cambies la primera parte por $$\lim_{i\to\infty} E(|X_i-0|^2) $$