EDO autónoma simple perturbada por un coeficiente constante

Question

Consideremos las ODEs $$\begin{equation} y'=f(y), y(0)=y_0 \end{equation}$$ y $$\begin{equation} y'=a f(y), y(0)=y_0 \end{equation}$$ donde $f$ es Lipschitz. Sea $y_1(t)$ ( $y_2(t)$ ) sea la solución única de la primera (segunda) EDO. ¿Puedo concluir que $y_1(at)=y_2(t)$ ?

Mi intento . Debería verificar que $$\begin{align} \frac{d y_1(at)}{dt} = a f(y_1(at)) \end{align}$$ que es verdadera si y sólo si $$\begin{align} \frac{d y_1(at)}{d(at)} = f(y_1(at)) \end{align}$$ que es verdadera si y sólo si $$\begin{align} \frac{d y_1(x)}{d(x)} = f(y_1(x)) \end{align}$$ lo cual es cierto porque $y_1$ es una solución de la primera EDO. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Dejemos que $z(t):=y_1(at)$ . Entonces $z'(t)=ay_1'(at)=af(y_1(at))=af(z(t))$ y $z(0)=y_0$ .

Por lo tanto, $z$ es una solución del segundo problema de valor inicial. Como la solución de este problema de valor inicial es única, tenemos $z=y_2$ .