Functorialidad del grupo fundamental

Question

El grupo fundamental es un funtor de la categoría de espacios topológicos puntuales a la categoría de grupos.

Por lo tanto, cada función continua que conserva el punto base $f$ entre espacios topológicos punteados induce un homomorfismo $f_*$ entre los grupos fundamentales. Esto se hace componiendo los lazos con $f$, lo cual está bien definido, ya que la homotopía también se conserva bajo $f.

¿Podemos intercambiar esto?

Cada grupo es el grupo fundamental de un CW-complejo, el cual puede ser construido de acuerdo a cuántos generadores y relaciones tenga el grupo.

¿Se puede construir una función continua para cada homomorfismo de tal manera que la función continua induzca el homomorfismo? Si el funtor del grupo fundamental es ‘sobreyectivo’, al menos se tiene una preimagen.

¿Cómo se va de lo algebraico a lo topológico con los morfismos? No tengo ni idea.

Answer 1

Sea $B : \mathbf{Grp} \to \mathbf{Top}_*$ el funtor obtenido al definir $B G$ como la realización geométrica del nervio de $G$ (considerado como una categoría de 1 objeto), es decir, el conjunto simplicial $$\cdots \mathrel{\lower{0.5ex}{\begin{array}{c} \smash{\to} \\ \smash{\to} \\ \smash{\to} \\ \smash{\to} \end{array}}} G \times G \mathrel{\lower{0.5ex}{\begin{array}{c} \smash{\to} \\ \smash{\to} \\ \smash{\to} \end{array}}} G \rightrightarrows 1$$ donde los mapas de degeneración insertan el elemento unitario en la ubicación apropiada y los mapas de cara componen pares adyacentes de elementos.

Es bien conocido que $B G$ es un espacio Eilenberg-MacLane $K(G, 1)$, es decir, $B G$ es un espacio topológico conexo por trayectorias tal que $\pi_1(B G, *) \cong G$ y $\pi_n(B G, *) = 1$ para todo $n > 1$. Además, el isomorfismo $\pi_1(B G, *) \cong G$ es inducido por la correspondencia obvia: enviar cada elemento de $G$ al lazo en $B G$ que realiza el 1-simplejo correspondiente en el nervio. Se sigue que $\pi_1 \circ B$ es naturalmente isomorfo a $\mathrm{id}_{\mathbf{Grp}}$ como un functor.