¿Por qué el problema de los tres cuerpos no tiene solución?

Question

¿Por qué el problema de los tres cuerpos ¿no tiene solución? No hay nada malo en no haber encontrado una solución todavía, pero he oído que hemos demostrado que no hay solución. Sé que es caótico, pero ¿es que tenemos fórmulas para predecir entornos "perfectos" pero nada realista?

Sólo estoy en calc AB (pre integrales), pero si una explicación las requiere puedo averiguarlas.

Answer 1

Esto se basa en dos cosas: una, una idea menos clara de lo que constituye una "solución" a un problema, dos, una mala redacción del término "sin solución" (que también podría estar relacionada con que quienes lo utilizan tienen una mala idea de lo que significa "solución").

Matemáticamente, un solución de cualquier ecuación es simplemente algún ajuste de las variables que hace que la ecuación se evalúe como "verdadera". Por ejemplo, dada la ecuación

$$x + 2 = 9$$

la asignación de la variable $x$ dado por $x := 7$ es una solución, porque cuando se sustituye, se obtiene

$$7 + 2 = 9$$

que se convierte en

$$9 = 9$$

que se convierte en "True".

En el caso de una ecuación física, como la que describe el movimiento, la "variable" relevante representa un función dando las posiciones de las (aquí, tres) partículas en cada momento, es decir, una trayectoria o historia, y la "solución" no es más que una asignación de una función dada a esa variable de función que, igualmente, hace que la ecuación se convierta en verdadera, es decir, una trayectoria que representa un movimiento físicamente permitido en las circunstancias descritas por esas ecuaciones.

Si dicha función existe, existe una solución, si no, no.

El problema de los tres cuerpos, en este caso, claramente hace tiene solución, porque es evidente que existe un conjunto de trayectorias que siguen tres cuerpos sometidos a fuerzas centrales mutuas, como la gravedad, y que por tanto deben, como funciones de serie temporal, satisfacer la ecuación de movimiento. Cuando se dice que "no tiene solución", lo que realmente se quiere decir es que no hay manera de representan esta solución en una formulario La respuesta a esta pregunta es una solución por funciones especiales, en la que las "funciones especiales" hacen referencia al conjunto elegido. Normalmente, estas funciones especiales incluyen las operaciones aritméticas, exponenciales y logarítmicas, y la trigonometría, y quizás también algunas otras, pero no incluyen todas las funciones posibles.

Pero en realidad son sólo una representación posible de muchas, y no necesariamente la mejor. Por desgracia, gran parte de la enseñanza de las matemáticas transmite la impresión de que son de alguna manera "mejores" que otras formas de hacerlo, lo que no es necesariamente el caso.

No hay una respuesta "mejor" sobre cómo representar la solución de una ecuación, o cualquier objeto matemático, y ninguna representación debe considerarse más o menos "verdadera" que otra. Lo que realmente buscamos es qué representación es más informativo a us sobre el problema. Por ejemplo, en muchos problemas que implican un movimiento periódico, una serie de Fourier puede considerarse en realidad una mejor representación, ya que básicamente te muestra cómo se desvía de un movimiento armónico ideal y simple, pero no es una solución por funciones especiales en este sentido, ya que implica una suma infinita (técnicamente podrías llamar sumas infinitas a una función de "aridad infinita", es decir, que toma infinitos argumentos, pero generalmente se piensa que los SBSF incluyen sólo funciones de aridad finita [número de argumentos de entrada]). Y en este sentido, en realidad hacer tienen "representaciones" muy buenas e informativas de la solución de este problema, que consisten en descripciones completas en lenguaje natural y matemático de los diversos comportamientos que presenta en diferentes áreas, combinadas con algoritmos para aproximar la solución con una precisión arbitraria. De hecho, en algunos casos, una descripción aproximada puede considerarse más informativa que una exacta al reducirse a las características "esenciales" del comportamiento (y muy a menudo puede "convertirse" en exacta simplemente especificando sobre ella un procedimiento de corrección que converja a la solución exacta).

Por supuesto, esto no responde todavía a la pregunta central, que es por qué específicamente no existe una representación de funciones especiales. Bueno, la "mejor" razón es, en general, que las representaciones por funciones especiales están limitadas por el conjunto de funciones que se incluyen en ese conjunto de funciones especiales permitido: por ejemplo, si el conjunto de funciones especiales fuera sólo las funciones aritméticas, por lo que no se podía escribir nada más que una combinación de operaciones aritméticas como $\frac{x + 3}{2}$ y así sucesivamente, entonces ni siquiera el seno podría ser representado, y por lo tanto la ecuación del movimiento para los armónicos simples

$$m \ddot{r}_x + kr_x = (t \mapsto 0)$$

tendría una solución inexpresable (la historia de la $x$ -coordinar $r_x$ ) de la misma manera que el problema de los tres cuerpos. A la inversa, se podría anexar el problema de los tres cuerpos como una función especial explícita, pero lo consideraríamos esencialmente trivial y nada esclarecedor. Lo ideal para este tipo de soluciones es utilizar un conjunto de funciones convenientemente generales y sencillas de entender, y para los conjuntos útiles que tenemos, el problema de los tres cuerpos no entra en ninguno de ellos. En cierto sentido, la realidad tiene "demasiada libertad" para que todos sus posibles comportamientos, en todas las circunstancias, puedan ser capturados de una manera tan simple.