Una función $g(x)$ , escrito en términos de $f(x)$ que se voltea el signo cuando una raíz de $f(x)$ se encuentra

Question

Dejemos que $f(x)$ sea cualquier función continua y diferenciable que tenga extremos y que $f(x) \geq 0$ para todos $x$ y tiene una cantidad finita de raíces (no siempre es un polinomio). Sea $g(x)$ sea una función (escrita en términos de $f(x)$ ) que cambia de signo sólo cuando una raíz de $f(x)$ se encuentra. Por ejemplo, digamos que $f(x)$ tiene sus raíces en $2,3,7,11$ . Eso significa que si desde $0$ a $2$ , $g(x)$ es positivo, de $2$ a $3$ , $g(x)$ debe ser negativo. En $3$ a $7$ debe ser positivo y de $7$ a $11$ debería ser negativo. $g(x)$ debe escribirse en términos de $f(x)$ Por lo tanto $g(x)$ debe ser una ecuación general. No debería ser necesario conocer las raíces de $f(x)$ para construir $f(x)$ . $g(x)$ no tiene que ser continua ni diferenciable. Ojalá, $g(x)$ es de forma cerrada (es decir, no hay $\sum$ o $\prod$ ). ¿Cuál es una definición de $g(x)$ ? ¿O es posible construir una función de este tipo?

En cualquier respuesta, utilice $f(x)=\sin^2(\frac{33}{x}\pi)+sin^2(x \pi)$ como función de ejemplo.

Antecedentes: Estaba pensando en este problema porque quería saber si era posible encontrar las raíces numéricamente para funciones que son todas positivas y tienen otros extremos distintos de las raíces (así que algo como f(x)/f'(x) no funcionaría). Los métodos de Newton, punto fijo y demás sólo son valiosos si se empieza cerca de la raíz, e incluso entonces, con una función como la del ejemplo, no está garantizado que funcione. La bisección es la única que garantiza que funcione, pero tengo que conseguir las ecuaciones en una forma para que pueda funcionar.

EDITAR : Después de pensarlo un poco, estoy pensando que tal $g(x)$ Si es posible, probablemente incluya el seno, el coseno y/o la tangente de alguna manera, pero no estoy seguro de cómo. Esperaba que alguien pudiera ayudarme.

Answer 1

$\require{mathtools}$ Dejemos que $x_1 < x_2 < \dots < x_k$ sean las raíces de $f$ . Escribe $\sigma$ para la siguiente función:

$$\sigma(x) = \begin{cases} -1 & x \le x_1 \\ (-1)^i & x_{i-1} < x \le x_i,\; 2 \le i \le k \\ (-1)^{k+1} & x_k < x \end{cases}$$

Entonces $g(x) = \sigma(x)f(x)$ . Una forma de pensar en $\sigma$ es como una suma de funciones del indicador y sus negativos. No estoy seguro de si esto es lo que estaba buscando.

Answer 2

Por las pistas del contexto parece que estás buscando un algoritmo que pueda calcular $g(x)$ de $f(x)$ sin tener que calcular primero las raíces de $f(x)$ ya que eso no serviría de nada (ya que se quiere utilizar $g(x)$ como paso para determinar las raíces de $f(x)$ numéricamente). No soy optimista en cuanto a la posibilidad de encontrar tal algoritmo, simplemente por la razón de que no parece más fácil encontrar tal $g(x)$ que encontrar las raíces mediante técnicas numéricas estándar.

Sin embargo, todavía hay cosas interesantes que decir aquí. En primer lugar, permítanme señalar que en el caso de un polinomio, tendríamos necesariamente $$ f(x)=\prod_{i} (x-r_i)^{2n_i} $$ para algunos enteros $n_i$ (hasta la multiplicación por una constante global), y entonces la elección más natural del polinomio que satisface sus condiciones sería $$ g(x)=\prod_{i} (x-r_i). $$ Los dos polinomios $f(x)$ y $g(x)$ guardan la misma relación que los polinomio característico y el polinomio mínimo de una matriz en álgebra lineal. Existen enfoques computacionales para calcular el polinomio mínimo de una matriz, que podría utilizarse en este problema: partiendo del polinomio original $f(x)$ se pueden poner los coeficientes (¡sin necesidad de conocer las raíces!) en un llamado matriz de acompañamiento (cuyo polinomio característico es automáticamente igual a $f(x)$ ) y, a continuación, utilizar el enfoque computacional mencionado para calcular el polinomio mínimo de la matriz compañera, que será igual a $g(x)$ . (No hay pretensiones de eficiencia aquí...) Este tipo de método podría aplicarse a los no polinomios utilizando un esquema de aproximación.

Para abordar su ejemplo específico $$ f(x)=\sin^2\left(\frac{33}{x}\pi\right)+\sin^2(x \pi), $$ permítanme comenzar señalando lo obvio, que es que $f(x)=0$ si y sólo si ambos términos son iguales a cero. El segundo término es cero precisamente cuando $x\in\mathbb Z$ y el primer término es cero precisamente cuando $33/x\in\mathbb Z$ . Así, las raíces se producen cuando $$ x=-33,-11,-3,-1,1,3,11,33. $$ Si se aplica heurísticamente un método similar al que sugerí anteriormente para los polinomios, se obtendría $$ g(x)=(x^2-33^2)(x^2-11^2)(x^2-3^2)(x^2-1^2), $$ que puede compararse con las expresiones que se obtienen al manipular heurísticamente El producto infinito de Euler

Answer 3

Si su $f$ es un polinomio, aquí hay una forma de hacerlo. Sea $g(x) = \tfrac{f(x)}{\mathrm{GCD}(f(x), f'(x))}$ . Obsérvese que el GCD de dos polinomios puede calcularse mediante la fórmula Algoritmo euclidiano sin factorizar los polinomios.

Por qué funciona: Desde $\mathrm{GCD}(f(x), f'(x))$ divide $f$ los únicos ceros del GCD son los ceros de $f$ . Si $r$ es un cero de $f$ con multiplicidad $m$ entonces $r$ es un cero de $f'(x)$ con multiplicidad $m-1$ Así que $r$ es un cero de $\mathrm{GCD}(f(x), f'(x))$ con multiplicidad $m-1$ Así que $r$ es un cero de $g(x)$ con multiplicidad $1$ . En otras palabras, esta es una forma de convertir $\prod (x-r_i)^{m_i}$ en $\prod (x-r_i)$ como en la respuesta de Pre-Kidney.

Answer 4

Es imposible escribir una función de este tipo $g(x)$ sólo en términos de $f(x)$ . Supongamos que las funciones $f_1(x)$ y $f_2(x)$ se definen como sigue:

$$f_1(x) = x^2,$$

$$f_2(x) = \begin{cases} 2x^2, & x \le -1, \\ 1 + x^4 & -1 < x < 1, \\ 2x^2 & x \ge 1. \end{cases}$$

Ambas funciones son continuas y diferenciables. Por otro lado, dejemos que $g_1(x)$ y $g_2(x)$ denotan las funciones correspondientes. Es evidente que $g_2(x)$ tiene el mismo signo para todos los $x$ pero $g_1(x)$ tiene que cambiar de signo en $x = 0$ . Pero como $f_1(x) = f_2(x)$ para $x \ge 1$ cualquier construcción posible de la $g_1(x)$ y $g_2(x)$ tiene que "saber" lo que ocurre en el intervalo $[-1,1]$ como entrada, ya que no se determina sólo a partir de $f_i(x)$ en el rango $x \ge 1$ dado que sólo está asumiendo que es diferenciable. Así que es ciertamente imposible dar $g(x)$ "en función de $f(x)$ " porque depende de algo más que $f$ en $x$ o incluso en un barrio de $x$ .