¿Qué son los ciclos k?

Question

Me encontré con la siguiente pregunta:Si elegimos una permutación aleatoria de $n$ letras distintas, ¿cuál es la probabilidad de que nuestra permutación tenga como máximo $k$ ¿ciclos?

No estoy seguro de entender la pregunta.¿Puede alguien explicar qué son estos $k$ -¿los ciclos son sin teoría de grupos?

Gracias. Edit:Me lo regaló un amigo que, a su vez, asiste al campo de entrenamiento de la India IMO.

Answer 1

Aquí hay una permutación aleatoria de los números del 1 al 10: $$\matrix{3&8&5&1&9&10&2&7&4&6\cr1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\cr}$$ Vemos que el 1 pasa a la posición 4, el 4 pasa a la posición 9, el 9 pasa a la posición 5, el 5 pasa a la posición 3 y el 3 pasa a la posición 1, completando un ciclo: $1\to4\to9\to5\to3\to1$ . También, $2\to7\to8\to2$ y $6\to10\to6$ . Así que, en total, esta permutación tiene 3 ciclos.

Ahora, usted menciona tanto " $k$ ciclos" y " $k$ -ciclos", y son cosas diferentes. $1\to4\to9\to5\to3\to1$ es un 5-ciclo, por ejemplo, ya que hay 5 cosas diferentes en él. Así que nuestra permutación tiene 3 ciclos, a saber, un 5-ciclo, un 3-ciclo y un 2-ciclo.