Demostrar que $f(x) = x - {\lfloor}x{\rfloor}$ es periódica.

Question

¿Cómo puedo demostrar que $f(x) = x - {\lfloor}x{\rfloor}$ es periódica y encontrar su período mínimo?

He tomado las siguientes medidas:

Dejemos que $x = x_0 + \Delta{x}$ donde $x_0 \in \mathbb Z$ y $\Delta{x} \in [0;1)$ . Necesito demostrar que para un determinado $x$ y $T$ : $f(x) = f(x+T)$ donde $T$ es un periodo a definir. Sea $T = n + \Delta{T}$ donde $n \in \mathbb N$ y $\Delta{T} \in [0, 1)$

$$ f(x) = f(x+T) \\ x- {\lfloor}x{\rfloor} = x+T - {\lfloor}x+T{\rfloor} \\ x_0+\Delta{x} - {\lfloor}x_0+\Delta{x}{\rfloor} = x_0 + \Delta{x} + n +\Delta{T} - {\lfloor}x_0 + \Delta{x} + n + \Delta{T}{\rfloor} $$

Así que desde $\Delta{x} \in [0;1)$ y $x_0 \in \mathbb Z$ entonces ${\lfloor}x_0+\Delta{x}{\rfloor} = x_0 +{\lfloor}\Delta{x}{\rfloor}$ . Basándose en esto, el LHS puede reescribirse como

$$ x_0+\Delta{x} - {\lfloor}x_0+\Delta{x}{\rfloor} = \Delta{x} - {\lfloor}\Delta{x}{\rfloor} = \Delta{x} $$

Al mismo tiempo:

$$ x_0 + \Delta{x} + n +\Delta{T} - {\lfloor}x_0 + \Delta{x} + n + \Delta{T}{\rfloor} = \\ = (x_0 + n) + \Delta{x} + \Delta{T} - (x_0 + n) - {\lfloor}\Delta{x} + \Delta{T}{\rfloor} = \\ = \Delta{x} + \Delta{T} - {\lfloor}\Delta{x} + \Delta{T}{\rfloor} $$ Esto significa que para que el LHS y el RHS sean iguales $\Delta{T}$ debe ser igual a $0$ Por lo tanto $T=n+\Delta{T} \in \mathbb N$ . Y el número natural más pequeño es $1$ lo que da que la función es efectivamente periódica y su período mínimo es $1$ .

¿Es válida la prueba anterior?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$f(x+T) = f(x) \iff x+T - \lfloor x+T\rfloor = x -\lfloor x\rfloor \iff T=\lfloor x+T\rfloor-\lfloor x\rfloor.$$ Ya que el RHS es la diferencia de dos enteros, $T$ debe ser un número entero. También, $T=\lfloor x+T\rfloor-\lfloor x\rfloor$ para todos los enteros. Como tal, el período mínimo es $T=1$ .

Answer 2

Prueba:

$x= \text{floor}(x) + \{x\}$ donde ${x}$ denota la función de la parte fraccionaria.

$\implies f(x)= \{x\}$

$\implies f(x+1)= \{x+1\}$

$\implies f(x+1)=\{x\} $

$\implies f(x)=f(x+1)$ .

Así, $f(x)$ es periódica con periodo $1$