Cómo factorizar $n^5+n+1$ ?

Question

Cómo factorizar $n^5+n+1$ ?

Creo que debería romper $a^5$ y utilizar una fórmula de factorización. ¿pero cómo se hace?

Answer 1

No estoy seguro de que mi respuesta pueda satisfacer:

$$\begin{aligned} n^5+n+1&=(n^5-n^2)+(n^2+n+1)\\&=n^2(n-1)(n^2+n+1)+(n^2+n+1)\\&=(n^3-n^2+1)(n^2+n+1)\end{aligned}$$

Answer 2

Por ensayo y error, sabiendo que debe haber una solución sencilla.

1. Factorización $n^5+1$ no lleva a ninguna parte. $$n^5+n+1=(n+1)(n^4-n^3+n^2-n+1)+n.$$

2. Factorización $n^5+n$ no lleva a ninguna parte. $$n^5+n+1=n(n+1)(n^3-n^2+n-1)+1.$$

3. Factorización $n^5+n^2$ con un artificio falla, pero muestra alguna esperanza $$n^5+n^2-n^2+n+1=n^2(n+1)(n^2-n+1)-n^2+n+1.$$

4. Factorización $n^5-n^2$ en lugar de eso, ¡funciona! $$n^5-n^2+n^2+n+1=n^2(n-1)(n^2+n+1)+n^2+n+1.$$

Answer 3

Sus coeficientes son $(1,0,0,0,1,1)$ . Eso me sugiere que $(1,1,1,1,1,1) + (0,-1,-1,-1,0,0)$ será útil, para formar el patrón con bloques de 3 coeficientes unitarios, es decir, que $(x^2+x+1)$ es un factor.

Answer 4

Para completar, el enfoque de fuerza bruta:

Supongamos que existe un factor lineal. Entonces $$n^5+n+1=(n+a)(n^4+bn^3+cn^2+dn+e),$$ para algunos enteros $a$ , $b$ , $c$ , $d$ y $e$ . En particular $ae=1$ así que $a=\pm1$ . Entonces, al conectar $n=-a=\mp1$ rinde $$(-a)^5+(-a)+1=((-a)+a)((-a)^4+b(-a)^3+c(-a)^2+d(-a)+e)=0.$$ Pero esto no es válido para $a=1$ o $a=-1$ , una contradicción. Así que no hay ningún factor lineal.

Supongamos que hay un factor cuadrático. Entonces $$n^5+n+1=(n^2+an+b)(n^3+cn^2+dn+e).$$ Como antes $be=1$ así que $b=e=\pm1$ . La comparación de los coeficientes muestra que \begin{eqnarray*} a+c&=&0,\\ b+ac+d&=&0,\\ bc+ad+e&=&0,\\ bd+ae&=&1. \end{eqnarray*} Como $b=e=\pm1$ este último muestra que $d+a=\pm1$ y la penúltima ecuación muestra que $$ad=\mp(c+1).$$ Entonces, desde $a+c=0$ se deduce que $ad=\mp(-a+1)=\pm(1-a)$ lo que demuestra que $a$ divide $1-a$ . Esto significa que $a=1$ o $a=-1$ y $d=0$ o $d=2$ de forma correspondiente (recordemos que $a+d=\pm1$ ). De cualquier manera, encontramos que $a+d=1$ y por lo tanto $b=e=1$ . Entonces la segunda ecuación anterior se convierte en $$1-a^2+d=0,$$ porque $a+c=0$ y vemos que sólo $a=1$ y $d=0$ es una solución válida. Esto da como resultado $$n^5+n+1=(n^2+n+1)(n^3-n^2+1).$$