Tratando de encontrar $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{(x \sin x)^{(3/2)}}$ utilizando el sistema de L'Hopital

Question

Estoy tratando de usar la regla de L'Hopital para calcular:

$$\lim_{x \to 0^+} \dfrac{x - \sin x}{(x \sin x)^{(3/2)}}$$

Tomar un par de derivadas del denominador se vuelve bastante desagradable, así que me gustaría encontrar una forma más sencilla de hacerlo.

Me gustaría hacer un cambio de variable, digamos, $t = \sqrt{x \sin x}$ para conseguir un $t^3$ en el denominador. Por desgracia, eso me deja con problemas en el numerador. ¿Quizás haya alguna otra manipulación o alguna identidad trigonométrica que simplifique las cosas que me estoy perdiendo? Esto no debería ser un problema difícil, pero no puedo encontrar una manera de hacerlo.

La respuesta se da como $\frac{1}{6}$ . Gracias por su ayuda.

Answer 1

Podría ser apropiado utilizar los límites o las propiedades infinitesimales de $\sin x$ en $x=0$

$${x- \sin x} \sim \frac{x^3}{3!}$$

Entonces

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sin x - x}}{{{{\left( {x\sin x} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} = \frac{1}{6}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^3}}}{{{{\left( {x\sin x} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}$$

y

$$\frac{1}{6}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^3}}}{{{{\left( {x\sin x} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} = \frac{1}{6}{\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{{\sqrt {x\sin x} }}} \right)^3} = \frac{1}{6}{\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt {\frac{x}{{\sin x}}} } \right)^3}$$

Utilizando el límite conocido $$\frac{x}{{\sin x}} \to 1$$

uno tiene

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sin x - x}}{{{{\left( {x\sin x} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} = \frac{1}{6}$$

Answer 2

En lugar de tomar múltiples derivadas, tal vez se pueda parar después de tomar una derivada. Luego piensa en qué hacer con la $1-\cos x$ en el numerador. Tal vez sepa lo que $$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2} $$ es? Si no es así, prueba a multiplicar el numerador y el denominador por $1+\cos x$ .

Answer 3

Primera respuesta:

Prueba a elevar la función al cuadrado primero. El límite de $f^2$ existirá, y puede ser menos complicado a través de L'Hospital, aunque llevará más iteraciones (el doble). Entonces tendrás que decidir qué raíz cuadrada tomar. Pero seguramente esto $f$ es positivo para un número pequeño de $x$ .

Mejor respuesta: Asumiendo que sabes $\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$ (lo que ciertamente hace si LH está disponible), use eso a su favor para eliminar $\sin$ del denominador:

$$ \begin{align} \lim_{x\to0^+}\frac{x-\sin x}{(x\,\sin x)^{3/2}}&=\lim_{x\to0^+}\frac{x-\sin x}{(x\,\sin x)^{3/2}}\cdot\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{3/2}\\&=\lim_{x\to0^+}\frac{x-\sin x}{x^3} \end{align} $$

Ahora L'Hospital es un paseo.