Preguntas sobre las integrales de superficie y un problema de ejemplo

Question

Es doblemente integral $(x + y) dS$ donde $S$ es la parte del cilindro $y^2 + z^2 = 4$ . Con $x$ estar entre $0$ y $5$

Primera pregunta, si queremos obtener la integral de la superficie de un cilindro, no entiendo muy bien por qué $(x + y)$ se multiplica por $dS$ ? ¿Cuáles son las aplicaciones de hacer algo así?

En cuanto a la superficie descrita, ¿es correcta mi parametrización?

$x = v$

$y = cos (u)$

$z = sin (u)$

$0 < u < 2\pi$

$0 < v < 5$

Este problema es tan difícil de visualizar y envolver mi cabeza, creo que sería más fácil si en lugar de " $y^2 + z^2 = 4$ " era " $x^2 + y^2 = 4$ ". ¿Es correcto tratar las variables $y$ y $z$ como los trataría si fuera $x$ y $y$ ¿que es lo que he hecho? Parece lógico, pero puede que me esté perdiendo algo.

Suponiendo que mis cosas son correctas, tomo el producto cruzado de las derivadas parciales de esta función de valor vectorial y lo integro a través de la región ¿correcto? Esto no tiene en cuenta la $(x + y)$ que se multiplica por la superficie, por supuesto.

Answer 1

¿Qué es tan difícil de visualizar? $f(x,y)=x+y$ es sólo un plano que pasa por el origen (es decir $z-x-y=0)$ y el cilindro $y^{2}+z^{2}=4$ sólo se orienta a lo largo de la $x$ -en lugar del eje $z$ -eje como afirmas es más fácil de visualizar (no lo es, si lo piensas un segundo).

La integral es entonces sólo una integral de superficie del campo escalar $x+y$ en la parte del cilindro limitada por los planos $x=0$ y $x=5$ Es decir $$\int_{S}(x+y)\;dS,$$ $dS$ siendo la medida de la superficie inducida sobre el cilindro. Se enseña en su clase por supuesto que $dS=|\phi_{u}\times\phi_{v}|\;du\;dv$ donde $\phi(u,v)=(v,2\cos u,2\sin u)$ es la parametrización del cilindro, una vez que la integración se remonta al dominio de los parámetros de $\phi$ , que es como usted indicó el rectángulo $[0,5]\times[0,2\pi]$ .

Tenemos $\partial_{u}\phi(u,v)=(0,-2\cos u,2\cos u)$ y $\partial_{v}\phi(u,v)=(1,0,0)$ y así $|\phi_{u}\times\phi_{v}|=|(0,2\cos u, 2\sin u)|=2.$

La integral se convierte ahora en $$2\int_{0}^{5}\int_{0}^{2\pi}(v+2\cos u)\;du\;dv.$$

Ahora termina el trabajo.