¿Cómo es una norma $2$ -¿Orientado por el complejo? ¿Cómo es un estándar $n$ -¿Orientado por el complejo?

Question

Si tenemos la norma $2$ -simplex (imagen inferior de Hatcher), ¿por qué hay una flecha de $v_2$ a $v_0$ ? ¿Por qué no de $v_0$ a $v_2$ ?

Tenemos $\partial([v_0,v_2])=[v_2]-[v_0]$ por lo que no debería haber una flecha de $v_0$ a $v_2$ ?

Además, ¿por qué la norma $2$ -simplex orientado en sentido contrario a las agujas del reloj?

---

Answer 1

En primer lugar, todo esto es una convención y una definición. Estas son sólo las definiciones que el autor hizo aquí.

En relación con sus preguntas: En general, la idea es que las fronteras de los simplicismos u otros objetos están "cerradas" en un determinado sentido. En tu complejo de dos, podemos imaginarlo como si siguiéramos el camino de la frontera e indicáramos la dirección de las aristas que se necesitan para llegar al punto original.

A partir de $v_0$ puede ir a $v_1$ y luego a $v_2$ y luego volver a $v_0$ . Así, su camino es $[v_0, v_1]$ entonces $[v_1, v_2]$ y luego $[v_2,v_0]$ . Por convención $[a,b] = -[b,a]$ . A continuación, escribir el límite "algebraicamente":

$\partial [v_0, v_1, v_2] = [v_0,v_1] + [v_1,v_2] + [v_2, v_0] = [v_0,v_1] + [v_1,v_2] - [v_0,v_2]$ .