Una función toma cada valor de la función dos veces - prueba que no es continua

Question

Quiero probar la siguiente bonita afirmación que he encontrado:

Una función $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ toma cada valor de la función dos veces - prueba que no es continua

Ya he encontrado una respuesta a mi pregunta, pero hay algo que todavía no me queda claro. La respuesta que encontré fue aquí en math.StackExchange publicado por Arthur :

Todo el puesto:

"Suponga que tiene una función $f$ que sí toma cada valor real exactamente dos veces. Sea $f(a) = f(b) = 0$ con $a < b$ . Sea $c \in (a,b)$ y asumir sin pérdida de generalidad $f(c) > 0$ . Entonces, para cada $0 < \epsilon < f(c)$ existe $d \in (a,c)$ et $e \in (c,b)$ tal que $f(d) = f(e) = \epsilon$ . Así que en los intervalos $[0,a)$ et $(b,1]$ nuestra función no puede ir más allá de cero. Esto significa que $f$ debe tomar todo valor real positivo en el intervalo $[a,b]$ . Sin embargo, la restricción de $f$ a $[a,b]$ es continua desde un intervalo cerrado hasta $\mathbb{R}$ y, por tanto, acotada. Contradicción".

Ahora todo está claro aquí, excepto:

"Sin embargo, la restricción de $f$ a $[a,b]$ es continua desde un intervalo cerrado hasta $\mathbb{R}$ y, por tanto, acotada. Contradicción".

Bueno, creo que sé lo que Arthur está diciendo allí: Debido a la frontera siempre hay al menos un valor de la función que no puede ser tomado dos veces por la función, por ejemplo, al igual que el pico de $-x^2$ .

Pero ahí es exactamente donde estaba atascado antes de empezar a investigar ese tema. ¿Es realmente posible decirlo como lo hizo Arthur? Pensaba que tendría que demostrar de alguna manera la afirmación de que el límite lleva a esa contradicción.

Espero que quede claro lo que intentaba expresar aquí...

En cualquier caso, como siempre, ¡gracias por su ayuda!

FunkyPeanut

Answer 1

El planteamiento del problema y las otras respuestas dadas no tienen nada que ver. Si la función es de $[0,1]$ a $\mathbb{R}$ no puede tomar cada valor real ni siquiera una vez, ya que tiene que estar acotado (es decir, las funciones continuas mapean intervalos cerrados a intervalos cerrados).

Sin embargo, el enunciado consiste en mostrar que una función no puede tomar cada valor en su imagen (que si es continua, es un intervalo cerrado) exactamente dos veces. Entonces tenemos que demostrar que una función de 2 a 1 no es continua. De hecho, tales funciones tienen un número infinito de discontinuidades, como se discute aquí ¿la función de análisis real toma cada valor dos veces? y aquí http://www.ams.org/journals/proc/1986-098-02/S0002-9939-1986-0854049-8/S0002-9939-1986-0854049-8.pdf

Reproduzco una respuesta a esa pregunta que tiene un ejemplo:

Dejemos que $x_\alpha$ sea una ordenación correcta de $[0,1]$ .

Para cualquier ordinal $\alpha = \theta + n < \frak{c}$ donde $\theta$ es un ordinal límite o $0$ et $n$ es un ordinal finito, sea $F(\theta + n > \cdot 2) = F(\theta + n \cdot 2 + 1) = x_\alpha$ .

Ahora defina $f(x_\alpha) = F(\alpha)$ para todos $\alpha \lt \frak{c}$ y está claro que $f$ tiene la propiedad requerida.

Si no exigimos que la función tome cada valor exactamente dos veces, entonces la afirmación es falsa, y hay muchas funciones continuas simples que satisfacen las condiciones.

Answer 2

El teorema del valor máximo dice que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado asume un valor máximo. Esto significa que la función nunca va por encima de ese valor en ese intervalo. Así, su función $f$ nunca asumiría valores superiores a $\max\{ f(x) : a\le x \le b\}$ , contradiciendo la suposición de que asume cada uno de esos valores dos veces.

Answer 3

La contradicción se deduce del hecho de que toda función de valor real cuyo dominio es un intervalo cerrado y acotado (es decir, de la forma $[a,b]$ ) está acotada. Si $f$ está acotado en $[a,b]$ entonces hay algún número real positivo $K$ tal que $f(x) < K$ para todos $x \in [a,b]$ . Pero entonces $K$ es un valor (real) que $f$ no toma, contradiciendo la hipótesis de que toma todo valor real en $[a,b]$ .