$\displaystyle{\lim \limits_{x \to \frac\pi4}\frac{(\csc^2x-2\tan^2x)}{(\cot x-1)}}$ sin la regla de L'Hôpitals.

Question

El límite,

$\displaystyle{\lim \limits_{x \to \frac\pi4}\frac{(\csc^2x-2\tan^2x)}{(\cot x-1)}}=6$

se encuentra fácilmente utilizando la regla de L'Hôpitals. Sin embargo, el ejercicio consiste en evaluarlo sin utilizar este método. He intentado múltiples sustituciones, principalmente identidades pitagóricas y recíprocas, pero sin éxito, la forma indeterminada $\frac{0}{0}$ sigue apareciendo. También he probado a dividir el límite y hacer las sustituciones. Busco simplificar la expresión para poder evaluar el límite directamente.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia : $$\begin{align*}\frac{\csc^2 x-2\tan^2 x}{\cot x-1}&=\frac{\csc^2 x-2-2\tan^2 x+2}{\cot x-1} ]\\&=\frac{\csc^2 x-2}{\cot x-1}+2\tan x\frac{1-\tan^2 x}{1-\tan x}\\&=\frac{\cot^2 x-1}{\cot x-1}+2\tan x\frac{1-\tan^2 x}{1-\tan x}\\&=\boxed{\cot x+1+2\tan x(1+\tan x)}\end{align*}$$

Es más fácil tomar el límite ahora.....

Answer 2

Este límite puede calcularse directamente. Sólo se necesita $\tan \frac{\pi}{4}= 1$

Reescriba la expresión de la siguiente manera y establezca $t=\tan x$ y considerar $t\to 1:$

\begin{eqnarray*}\frac{(\csc^2x-2\tan^2x)}{(\cot x-1)} & = & \frac{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}+1-2\tan^2x}{\frac 1{\tan x}- 1} \\ & \stackrel{t=\tan x}{=} & \frac{\frac 1{t^2}+1-2t^2}{\frac 1t-1}\\ & = & \frac{1+t^2 - 2t^4}{t(1-t)}\\ & = & \frac{(1-t)(1+t)(1+2t^2)}{t(1-t)}\\ & = & \frac{(1+t)(1+2t^2)}{t} \stackrel{t\to1}{\longrightarrow}6\\ \end{eqnarray*}

Answer 3

Utilizo (al final)

$\begin{array}\\ \cos x-\sin x &=\sqrt{2}((1/\sqrt{2})\cos x-(1/\sqrt{2})\sin x)\\ &=\sqrt{2}(\sin(\pi/4)\cos x-\cos(\pi/4)\sin x)\\ &=\sqrt{2}\sin(\pi/4-x)\\ \end{array} $

$\begin{array}\\ v &=\lim \limits_{x \to \frac\pi4}\dfrac{\csc^2x-2\tan^2x}{\cot x-1}\\ &=\lim \limits_{x \to \frac\pi4}\dfrac{\dfrac1{\sin^2x}-2\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x}}{\dfrac{\cos x}{\sin x}-1}\\ &=\lim \limits_{x \to \frac\pi4}\dfrac{\cos^2x-2\sin^4x}{\sin x\cos^3 x-\sin^2x\cos^2x}\\ &=\lim \limits_{x \to \frac\pi4}\dfrac{1-\sin^2x-2\sin^4x}{\sin x\cos x(1-\sin^2x)-\sin^2x(1-\sin^2x)}\\ &=\lim \limits_{x \to \frac\pi4}\dfrac{(1-2\sin^2x)(1+\sin^2x)}{\sin x(1-\sin^2x)(\cos x-\sin x)}\\ &=\lim \limits_{x \to \frac\pi4}\dfrac{(1-2\sin^2x)(3/2)}{(\sqrt{2}/2)(\cos x-\sin x)}\\ &=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\lim \limits_{x \to \frac\pi4}\dfrac{1-2\sin^2x}{(\cos x-\sin x)}\\ &=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\lim \limits_{x \to \frac\pi4}\dfrac{(1-\sqrt{2}\sin x)(1+\sqrt{2}\sin x)}{\cos x-\sin x}\\ &=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\lim \limits_{x \to \frac\pi4}\dfrac{(1-\sqrt{2}\sin x)(1+\sqrt{2}(\sqrt{2}/2))}{\cos x-\sin x}\\ &=\dfrac{6}{\sqrt{2}}\lim \limits_{x \to \frac\pi4}\dfrac{(1-\sqrt{2}\sin x)}{\cos x-\sin x}\\ &=\dfrac{6}{\sqrt{2}}\lim \limits_{x \to \frac\pi4}\dfrac{1-\sqrt{2}\sin x}{\sqrt{2}\sin(\pi/4-x)}\\ &=3\lim \limits_{x \to \frac\pi4}\dfrac{1-\sqrt{2}\sin x}{\sin(\pi/4-x)}\\ &=3\lim \limits_{y \to 0}\dfrac{1-\sqrt{2}\sin (y+\pi/4)}{\sin(-y)}\\ &=3\lim \limits_{y \to 0}\dfrac{1-\sqrt{2}(\sin y\cos(\pi/4)+\cos(y)\sin(\pi/4))}{\sin(-y)}\\ &=3\lim \limits_{y \to 0}\dfrac{1-2(\sin y+\cos(y))}{\sin(-y)}\\ &=3\lim \limits_{y \to 0}\dfrac{-2\sin y}{-\sin(y)}\\ &=6\\ \end{array} $

Answer 4

$$\frac{\csc^2(x)-2\tan^2(x)}{\cot (x)-1}=2 \tan (x)+\cot (x)+2 \sec ^2(x)-1$$

Answer 5

El denominador $\cot x-1$ se parece a $t-1$ demasiado como para no tenerlo en cuenta.

Seguramente sabes que $$ \csc^2x=1+\cot^2x,\qquad \tan x=\frac{1}{\cot x} $$ por lo que el numerador se convierte, con $\cot x=t$ , $$ 1+t^2-\dfrac{2}{t^2}=\dfrac{t^4+t^2-2}{t^2} $$ No importa si no ves la factorización $t^4+t^2-2=(t^2-1)(t^2+2)$ ; usted hacer saber que un factor $t-1$ ¡se puede encontrar! Con la división sintética se encuentra $$ \begin{array}{r|rrrr|r} & 1 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & & 1 & 1 & 2 & 2 \\\hline & 1 & 1 & 2 & 2 & 0\end{array} $$ y por lo tanto $t^4+t^2-2=(t-1)(t^3+t^2+2t+2)$ y puede reescribir su límite en la forma $$ \lim_{x\to\pi/4}\frac{\cot^3x+\cot^2x+2\cot x+2}{\cot^2x}=6 $$ Si hubieras visto $t^4+t^2-2=(t^2-1)(t^2+2)=(t-1)(t+1)(t^2+2)$ se obtendría la forma equivalente $$ \lim_{x\to\pi/4}\frac{(\cot x+1)(\cot^2x+2)}{\cot^2x} $$