Tengo dificultades para demostrar la continuidad correcta de una función de distribución. Mi problema es que mi método para demostrar la continuidad de la derecha funciona también para demostrar $F$ es continua a la izquierda. Por lo tanto, mi prueba de ambos debe ser errónea, pero no sé dónde. Una función de distribución de una variable aleatoria $X$ puede definirse como
$F(x)=\mu(-\infty,x]=P[X\leq x],$
donde $P$ es la medida de probabilidad del espacio de probabilidad subyacente $(\Omega,\mathscr{F},P)$ y $\mu$ es una medida de probabilidad sobre los conjuntos unidimensionales de Borel $\mathscr{R}$ . Utilizando la monotonicidad de $\mu$ vemos que $F$ es no decreciente. También para $a\leq x$ tenemos $\mu(a,x]=\mu(-\infty,x]-\mu(-\infty,a]$ . Creo que el hecho de que $F$ se define como $\mu(-\infty,x]$ y no $\mu(-\infty,x)$ significa que $F$ puede tener una discontinuidad de salto digamos en $a$ como $x$ se acerca por la izquierda pero no por la derecha, es decir $F$ es derecho pero no continuo a la izquierda. Mis pruebas se basan en el siguiente resultado: si $A_{n}$ y $A$ mienten en $\mathscr{F}$ y $A_{n}\downarrow A$ y si $\mu(A_{1})<\infty$ entonces $\mu(A_{n})\downarrow \mu(A)$ .
Aquí está mi prueba para la continuidad de la derecha;
Dejemos que $y_{n}\downarrow x$ . Entonces $(x,y_{n}]\downarrow \emptyset:(x,y_{1}]\supseteq(x,y_{2}]\supseteq...$ y $\cap_{n}(x,y_{n}]=(x,x]=\emptyset$ . Desde $(x,y_{n}]$ y $\emptyset$ están en $\mathscr{F}$ y $\mu(x,y_{1}]\leq 1<\infty$ entonces tenemos $\mu(x,y_{n}]\downarrow\mu(\emptyset)=0$ . Equivalentemente $F(y_{n})-F(x)\downarrow 0:F(y_{1})-F(x)\geq F(y_{2})-F(x)\geq...$ y $F(y_{n})-F(x)\rightarrow 0$ . Por lo tanto, tenemos $F(y_{1})\geq F(y_{2})\geq ...$ y $F(y_{n})\rightarrow F(x)$ . Así que $F$ es continua a la derecha: $lim_{y\downarrow x}F(y)=F(lim_{y\downarrow x})$ .
Mi "prueba" de la continuidad de la izquierda es la siguiente;
Dejemos que $y_{n}\uparrow x$ . Entonces $(y_{n},x]\downarrow\emptyset:(y_{1},x]\supseteq(y_{2},x]\supseteq...$ y $\cap_{n}(y_{n},x]=(x,x]=\emptyset$ . Desde $(y_{n},x]$ y $\emptyset$ están en $\mathscr{F}$ y como $(y_{1},x]\leq 1<\infty$ entonces $\mu(y_{n},x]\downarrow\mu(\emptyset)=0$ o en términos de $F$ tenemos $F(x)-F(y_{n})\downarrow 0$ . Así, $F(x)-F(y_{1})\geq F(x)-F(y_{2})\geq...$ y $F(x)-F(y_{n})\rightarrow 0$ o de forma equivalente $F(y_{n})\uparrow F(x):F(y_{1})\leq F(y_{2})\leq...$ y $F(y_{n})\rightarrow F(x)$ . Así que $F$ es continua a la izquierda: $lim_{y\uparrow x}F(y)=F(lim_{y\uparrow x})$ .
¿En qué me equivoco? Cualquier ayuda será muy apreciada.
