Gamma integral incompleta: $\int_0^\infty x^{k-1} \frac{\gamma(x,t)}{\Gamma(x)} dx$ , $k\in \{1,2,3...\}$ y $t>0$ .

Question

Necesito resolver una integral que involucre la gamma incompleta inferior $\gamma$ ( https://en.wikipedia.org/wiki/Incomplete_gamma_function ) y la función Gamma $\Gamma$ . En particular, la integral es \begin{align*} \int_0^\infty x^{k-1} \frac{\gamma(x,t)}{\Gamma(x)} dx \end{align*} con $k\in \{1,2,3...\}$ y $t>0$ .

¿Tienes algún consejo? ¿Conoces algún libro que tenga resultados similares? Gracias.

Answer 1

¿Sabe usted de la función gamma incompleta inferior regularizada $P(a,z)$ y la parte superior $Q(a,z)$ ? Su integral entonces es: $$\int_0^\infty x^{k-1} P(x,t)dx= \mathcal M_x\{P(x,t)\}(k)$$

que es sólo La transformada de Mellin . Sea esta ampliación se utilice:

$$ \mathcal M_x\{P(x,t)\}(k) =\int_0^\infty \frac{x^{k-1}t^x}{(x+1)}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x t^n}{(x+n)n!}dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-t)^n}{n!}\int_0^\infty \frac{x^kt^x}{x!(x+n)}dx$$

Intentemos utilizar Teorema maestro de Ramanujan :

$$\int_0^\infty x^{k-1} P(x,t)dx=(k)\varphi(-k)$$

Donde $\varphi(m)$ es un tipo de función generadora para $P(x,t)$ :

$$P(x,t)=\sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m x^m}{m!}\varphi(m)$$

Tenga en cuenta que $$\varphi(m)\mathop=^\text{may}\varphi(m,t)$$

debido a la $t$ parámetro. Esta integral se parece a una Función Mu . Por favor, corríjanme y denme su opinión.