¿Cómo demostrar que un operador lineal acotado es compacto?

Question

Me encontré con una tarea problema que dice:

Si $A$ es un delimitada lineal operador de$X$$Y$. Y $K$ es una compacta de operador de $X$ $Y$donde $X$ $Y$ ambos son espacios de Banach, y Corrió$(A)\subset$ Ran$(K)$. A continuación, $A$ también es un operador compacto.

Traté de usar la definición de una compacta de operador para resolver esto. (De hecho, el profesor sólo cubría la definición de operador compacto en la clase y dijo que sería suficiente para los problemas de la tarea.) Esto es lo que hice. Empecé por la elección de un almacén de secuencia $x_n$ en X y puesto que a es acotado, $A(x_n)$ es también limitada. Y a partir de la suposición de que $R(A)\subset R(K)$, llego a la conclusión de que no existe $y_n\in X$, s.t. $K(y_n)=A(x_n)$. Ahora bien, si de alguna manera se puede demostrar que $y_n$ está acotada en X, que fácilmente se puede demostrar que el problema mediante el uso de la compacidad de K. Pero este es exactamente el lugar donde estoy atascado. Por favor, ayúdenme. Voy por el camino adecuado?

Además, he tenido otro problema en decir que: Si X es infinitamente dimensiones y K es un compacto de operador y es de uno a uno, luego la I-K no debe ser compacto.

He probado este, pero realmente no uso el supuesto de que el valor de K es de uno a uno. Miré una y otra vez pero no podía averiguar dónde he cometido el error.

Esto es lo que hice: Elija cualquier secuencia en la X que es de norma 1. A continuación, supongamos que K es compacto. De ello se desprende no deben existe una larga $x_{n_k}$ que $(I-K)(x_{n_k})$ converge. Y puesto que K es compacto, existe un sub-subsequence $x_{n_{k_j}}$ que $K(x_{n_{k_j}})$. Ahora me reclama que, de hecho, $x_{n_{k_j}}$ converge en X. de Hecho, $x_{n_{k_j}}=(I-K)(x_{n_{k_j}})+K(x_{n_{k_j}})$. Por lo tanto, para cualquier secuencia en la unidad de la esfera, he encontrado un subsequence que converge. Esto significa que la unidad de la esfera es compacto, lo que se contradice con X es infinitamente dimensiones.

Hice algo mal?

Answer 1

La siguiente prueba es una adaptación de Bruce Barnes, Majorization, rango de inclusión, y factorización para delimitada lineal de los operadores. Uno tal vez capaz de simplificar la prueba de algo.

Lema Deje $T,S\in B(X,Y)$$R(T)\subseteq R(S)$, $\exists M > 0$ tal que para todos los $\alpha\in Y^*$, $$ \|T^*\alpha\| \leq M\|S^*\alpha\| \tag{1}$$ donde $*$ denota el adjunto del operador.

Prueba: Supongamos $U$ ser el mapa de$R(S^*) \to X^*$$U(S^*\alpha) = T^*\alpha$. Este mapa está bien definido desde el núcleo de $S^*$ está contenida en la de $T^*$. Esto es suficiente para mostrar que $U$ es un delimitada operador lineal. Supongamos que no, entonces existe una secuencia $\alpha_n$ $Y^*$ tal que $S^*\alpha_n$ tiene norma 1 y $T^*\alpha_n$ diverge. Ahora tome un arbitrario $x\in X$. Por supuesto, existe $z\in X$ tal que $Sz = Tx$. Así $$ T^*\alpha_n(x) = \alpha_n(Tx) = \alpha_n(Sz) = S^*\alpha_n(z) $$ y así $$ |T^*\alpha_n(x)| \leq \|z\| < \infty$$ para cada una de las $n$. Pero por el Acotamiento Uniforme Principio tenemos que ello implica $$ \sup_n \|T^*\alpha_n\| < \infty $$ y llegamos a una contradicción. q.e.d.

Ahora recuerdo del Teorema de Schauder (Dunford y Schwartz, Capítulo VI.5, Teorema 2): Un operador compacto si y sólo si su adjunto es compacto.

Corolario Si en el anterior lema, $S$ es compacto, entonces es $T$.

Prueba: Por el teorema de Schauder tenemos que $S^*$ es compacto. Desde $T^* = US^*$, e $U$ es un delimitada lineal operador (con limitada extensión lineal a $R(S^*)$), tenemos que $T^*$ es un producto de un almacén lineal operador con una compacta de operador, y por lo tanto es compacto. Apelando a la del teorema de Schauder de nuevo llegamos a la conclusión de la prueba. q.e.d.