Quiero determinar si la serie de abajo es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente. $$\sum_{n=1}^{+\infty}c_n\text{, where }c_n =\begin{cases} -\frac{1}{n} \text{, if $\frac{1}{4}n$ is an integer} \\ \frac{1}{n^2} \text{, if $\frac{1}{4}n$ is not an integer}\end{cases}$$
Los términos $c_n$ de esta serie, para unos valores iniciales de $n$ son los siguientes:
$$\begin{array}{c|c|c|} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline c_n & \frac{1}{1^2} & \frac{1}{2^2} & \frac{1}{3^2} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{5^2} & \frac{1}{6^2} & \frac{1}{7^2} & -\frac{1}{8} \\ \hline \end{array}$$
Esta serie parece ser divergente, y voy a hacer un intento de mostrarlo.
Primer intento (y probablemente equivocado)
( Editar ) NOTA: Creo que este intento es erróneo, porque, cuando la serie es divergente, no puedo necesariamente agrupar los términos arbitrariamente para formar una nueva serie infinita.
Véase el segundo intento a continuación.
Utilizaré el siguiente razonamiento: Puedo agrupar los términos en grupos de cuatro para formar una nueva serie infinita que sea equivalente a la anterior, como sigue:
$$\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{7^2} - \frac{1}{8}\right)+\cdots$$
El $N$ La suma parcial de la serie formada como tal puede representarse como
$$\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{1}{(4n-3)^2}+\frac{1}{(4n-2)^2}+\frac{1}{(4n-1)^2}-\frac{1}{4n}\right)\ \ \ \ (*)$$
La suma parcial anterior puede reescribirse como una suma de dos sumas parciales:
$$\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{1}{(4n-3)^2}+\frac{1}{(4n-2)^2}+\frac{1}{(4n-1)^2}\right)+\sum_{i=1}^{N}\left(-\frac{1}{4n}\right) \ \ (**)$$
Si tomamos el límite de la expresión anterior como $N\to+\infty$ vemos que la suma de la izquierda converge, pero la de la derecha diverge. Por lo tanto, para $N\to+\infty$ la suma es divergente.
Además, como la expresión marcada arriba con un asterisco puede verse como la suma término a término de las dos series de la expresión anterior marcada con dos asteriscos, también puedo utilizar el hecho de que si sumamos una serie infinita convergente y una serie infinita divergente término a término, la serie resultante es divergente.
Actualización: Segundo intento
Intentaré hacer uso del siguiente teorema:
Teorema : Dejemos que $\{s_n\}$ sea la secuencia de sumas parciales de una serie convergente dada $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ . Entonces, para cualquier $\epsilon>0$ Hay un número $N$ tal que:
$$|s_R - s_T| < \epsilon \text{ whenever } R>N \text{ and } T>N$$
A continuación, supondré que la serie es convergente e intentaré aplicar el teorema anterior, para demostrar por contradicción que la serie es divergente. Así, trataré de encontrar una cota inferior positiva para $|s_{8n}-s_{4n}|$ , lo que demostraría que la serie diverge.
La expresión para $s_{8n}-s_{4n}$ es:
$$s_{8n}-s_{4n} = \left(\frac{1}{(4n+1)^2} + \frac{1}{(4n+2)^2} + \frac{1}{(4n+3)^2} - \frac{1}{4n+4}\right)+\left(\frac{1}{(4n+5)^2} + \frac{1}{(4n+6)^2} + \frac{1}{(4n+7)^2} - \frac{1}{4n+8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{(8n-3)^2} + \frac{1}{(8n-2)^2} + \frac{1}{(8n-1)^2} - \frac{1}{8n}\right)$$
La suma anterior tiene $4n$ términos. Separando los términos positivos de los negativos, y formando dos grupos (uno con todos los términos positivos, y otro con todos los términos negativos), obtenemos:
$$s_{8n}-s_{4n} = \left[\left(\frac{1}{(4n+1)^2} + \frac{1}{(4n+2)^2} + \frac{1}{(4n+3)^2}\right)+\left(\frac{1}{(4n+5)^2} + \frac{1}{(4n+6)^2} + \frac{1}{(4n+7)^2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{(8n-3)^2} + \frac{1}{(8n-2)^2} + \frac{1}{(8n-1)^2}\right)\right]-\left(\frac{1}{4n+4}+\frac{1}{4n+8}+\cdots+\frac{1}{8n}\right)$$
Para simplificar, reescribiré la ecuación anterior como sigue:
$$s_{8n}-s_{4n} = f(n) - g(n)$$
donde
$$f(n) = \left(\frac{1}{(4n+1)^2} + \frac{1}{(4n+2)^2} + \frac{1}{(4n+3)^2}\right)+\left(\frac{1}{(4n+5)^2} + \frac{1}{(4n+6)^2} + \frac{1}{(4n+7)^2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{(8n-3)^2} + \frac{1}{(8n-2)^2} + \frac{1}{(8n-1)^2}\right)$$
y
$$g(n) = \frac{1}{4n+4}+\frac{1}{4n+8}+\cdots+\frac{1}{8n}$$
Tomando el valor absoluto de ambos lados:
$$|s_{8n}-s_{4n}| = |f(n) - g(n)| = |g(n) - f(n)|$$
Si se observan las condiciones de $g(n)$ podemos ver que tiene $n$ y el término más pequeño es $\frac{1}{8n}$ así, podemos decir que $g(n) \geq \frac{n}{8n} = \frac{1}{8}$ . Así que, $\frac{1}{8}$ es un límite inferior para $g(n)$ . Mirando $f(n)$ podemos ver que tiene $4n - n = 3n$ términos y que su mayor término es $\frac{1}{(4n+1)^2}$ . Por lo tanto, podemos decir que $f(n) \leq \frac{3n}{(4n+1)^2}$ . Y, como $\frac{3n}{(4n+1)^2}$ es decreciente para $n\geq 1$ tiene un máximo en $n = 1$ en este intervalo; así, sustituyendo $n=1$ en la expresión, obtenemos que $f(n) \leq \frac{3}{(4+1)^2} = \frac{3}{25}$ . Así, $\frac{3}{25}$ es un límite superior para $f(n)$ . Ahora bien, como $\frac{1}{8} > \frac{3}{25}$ el límite inferior de $g(n)$ es siempre mayor que el límite superior de $f(n)$ si $n\geq 1$ . Por lo tanto, $g(n) > f(n)$ para todos $n\geq 1$ y..:
$$|s_{8n}-s_{4n}| = g(n) - f(n) \geq \frac{1}{8} - \frac{3}{25} = \frac{1}{200}$$
La conclusión anterior se debe a que $g(n)\geq\frac{1}{8}$ y $f(n)\leq \frac{3}{25}$ (así, $-f(n)\geq -\frac{3}{25}$ ).
Por lo tanto, podemos concluir que:
$$|s_{8n}-s_{4n}| \geq \frac{1}{200} \text{ whenever } n\geq 1$$
Pero el teorema anterior requiere que, para cualquier $\epsilon>0$ Hay un número $N$ tal que:
$$|s_{8n} - s_{4n}| < \epsilon \text{ whenever } 4n>N$$
En particular, si elegimos $\epsilon=\frac{1}{200}$ se produce una contradicción, ya que $|s_{8n} - s_{4n}|$ no puede ser arbitrariamente más pequeño que $\frac{1}{200}$ . Por lo tanto, la serie es divergente.
¿Es esto correcto? ¿Hay algún otro argumento?
