Demostrar que $z^k+kz$ es $1-1$ en el disco unitario, para cada número natural $k$

Question

Demostrar que $z^k+kz$ es 1-1 en el disco de la unidad para $k \geq 1$ y $k \in \mathbb N$ .

Mi prueba: Toma $a \in \mathbb C$ y considerar $g(z) = z^k + kz -a$ . Entonces, si tiene más de una raíz en $z$ su derivada debería desaparecer también en ese punto. Así que $k z^{k-1} + k = 0$ que dice que la raíz múltipleS sólo puede aparecer en el límite del disco unitario. Así que hemos terminado.

Realmente no me sirve el hecho de que $k \leq 1$ , lo que sugiere claramente el teorema de Rouche. Puede ser que el problema sea preguntar por el disco unitario cerrado. ¿Es correcta mi demostración?

Answer 1

$$z_1^k+kz_1=z_1^k+kz_1$$ muestra $$(z_1-z_2)(z_1^{k-1}+z_1^{k-2}z_2+\cdots+z_1z_2^{k-2}+z_2^{k-1}+k)=0$$ pero con $|z_1|<1$ y $|z_2|<1$ $$|z_1^{k-1}+z_1^{k-2}z_2+\cdots+z_1z_2^{k-2}+z_2^{k-1}+k|\geq k-|z_1|^{k-1}-|z_1|^{k-2}|z_2|-\cdots-|z_1||z_2|^{k-2}-|z_2|^{k-1}>0$$

Answer 2

Su prueba es errónea. La función puede no ser uno-a-uno por $z^k+kz-a$ tener dos ceros distintos en el disco unitario, no sólo por tener un cero de multiplicidad $> 1$ .

Pero el problema es un poco extraño, porque si $k$ no es un número natural $z^k +k z$ no es analítica en el disco unitario.