Equivalencia homotópica de dos espacios, tarea

Question

Necesito probar que los espacios $\mathbb R^2 \setminus \{e_1,-e_1\}$ y $S(e_1,1)\cup S(-e_1,1)$ son equivalentes en homotopía. $e_1$ es el vector base $(1,0)$ y $S(e_1,1)$ es una esfera centrada en $e_1$ con radio 1 (esfera unidimensional).

Dos espacios, $A$ , $B$ son equivalentes en homotopía si existe una continuidad $f: A \rightarrow B$ al que existe continuamente $g: B \rightarrow A$ tal que $g \circ f \sim id_A$ y $f \circ g \sim id_B$ . ( $\sim$ significa que los dos mapas son homotópicos).

Lo sé, porque lo dice en el libro esa esfera de dimensión $n-1$ es equivalente en homotopía a $\mathbb R^n \setminus \{\bar 0\}$ . Función $f$ es la inclusión y $g$ es $x/|x|$ . Pero aquí no quito uno sino dos puntos y ninguno es el origen.

Editar:

Me preguntaba si la función $f=\frac{x+(1,0)}{|x+(1,0)|}-(1,0), x<0, \frac{x-(1,0)}{|x-(1,0)|}+(1,0), x \ge 0$ sería continua y si se puede utilizar como la función de $\mathbb R^2 \setminus \{e_1,-e_1\}$ a $S(e_1,1)\cup S(-e_1,1)$ . Proyecta el semiplano negativo a $S(-e_1,1)$ y positivo a $S(e_1,1)$ .

Estoy convencido de que tengo que definir la función por partes. Pero creo que uno no es continuo en el $y$ -eje (ningún punto allí tiene una vecindad que mapea continuamente) y no puedo averiguar cómo hacerla continua allí.

Answer 1

En primer lugar, ten en cuenta que los espacios topológicos son homotópicos, no conjuntos; supongo que tienes las topologías estándar en cada conjunto. En segundo lugar, asumo que tu notación $S(e_1,1)$ habla de círculos en el plano (esferas unidimensionales).

Tienes razón en que las proyecciones radiales estándar de cada semiplano no coinciden de forma continua al pegarlas. Parece claro que un mapa que envíe a todo el $y$ -al origen sería lo más conveniente. Qué tal un mapa que sea las proyecciones radiales dentro de ambos círculos, y también fuera de ambos círculos excepto en la franja vertical de ancho 2 centrada en el $y$ -eje, en el que el mapa es una proyección vertical en su lugar?