Pregunta sobre la derivación de la fórmula del volumen del cono

Question

El diagrama de arriba proviene de una derivación de la fórmula para el volumen de un cono; es uno de los pasos preliminares, y tristemente, estoy atascado en él.

Lo que hacemos aquí es inscribir un número "infinito" de discos circulares de igual grosor en el cono para llegar a la fórmula del volumen del cono.

Debemos dejar que $n$ sea un número entero positivo dado. El texto dice entonces: "si hay $n-1$ discos inscritos, entonces cada disco tiene un grosor $h \over n$ como se muestra en la figura".

Sin embargo, me parece que si tenemos un total de $n-1$ discos, el grosor de cada disco es $h \over n-1$ y no $h \over n$ . Lo confirmé por mí mismo mirando un par de ejemplos sencillos (hay que reconocer que con $n$ que no sea un número entero "grande", pero seguramente la verdad de la afirmación hecha en el diagrama no debería verse afectada por eso).

¿Qué me falta? Gracias de antemano por cualquier orientación aquí.

Answer 1

Sospecho que la discrepancia tiene que ver con el disco superior de la pila; en concreto, supongamos que queremos colocar discos de grosor $\frac{h}3$ en el cono. Como el texto pide que los discos estén inscritos, encontramos que el disco que se apoya en la base del cono tiene radio $\frac{2}3r$ ya que se extiende hasta una altura de $\frac{h}3$ por encima de la base, donde el cono tiene ese radio. El disco que está encima tendría un radio de $\frac{1}3r$ . Entonces, el disco que está encima tendría un radio de $0$ ya que llega hasta la parte superior del cono, donde el radio pasa a $0$ .

Por lo tanto, podría $2$ discos, excluyendo el superior, o contar $3$ discos, pero que uno de ellos sea degenerado. Presumiblemente, el siguiente paso es sumar los volúmenes de estos discos, en cuyo caso no importa si incluiste o excluiste el disco superior del volumen cero.