Aquí tienes algunas pistas que te ayudarán a estructurar tu pensamiento:
- Si $\sigma_{X_i} = 30$ ¿cuál es la desviación estándar de $\frac{1}{75}\sum_{1}^{75} X_i$ ? (Llamemos a esto $\sigma_{\bar X}$ )
- ¿Qué es la $Z$ puntuación de la diferencia $D=76-80$ ?
- ¿Cuál es la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar tome valores menores que $Z$ ?
Para sacar a OP de su miseria...
Nos dicen que los precios de los routers se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 30 y una media de 80. Lo que este problema te pide es que determines la probabilidad de que la muestra de María de 75 routers provenga de una población con distribución normal, con media 80 y desviación típica 30.
Lo primero que hay que hacer es calcular la desviación típica de la media muestral de 75 observaciones iid de esta población. Como has calculado correctamente, sería $\frac{30}{\sqrt{75}} \approx 3.46$ . Así, el 95% de las veces, una media muestral de 75 observaciones iid de una población normalmente distribuida de media 80, desviación estándar 30 caerá en el intervalo $80 \pm 2\times 3.46$ .
La media de la muestra de María es de 76. La pregunta te pide la probabilidad de obtener menos o igual a 76 para la media muestral si procede de una población con una media de 80 y una desviación estándar de 30.
¿Cuántas desviaciones estándar por debajo de la media está la media muestral de $76$ ?
Ya hemos calculado que la desviación estándar de una media de 75 observaciones es de 3,46, por lo que 76 es $\frac{76-80}{3.46}\approx -1.15$ desviaciones estándar debajo de la media esperada de la muestra.
¿Qué probabilidad hay de que esto ocurra? Simplemente tenemos que buscar el valor anterior (-1,15) en una tabla normal estándar (ya te deberían haber enseñado a hacerlo) o puedes utilizar excels NORMSDIST(-1,15) para obtener un cola inferior probabilidad. Esto le dará 0,12 o $12\%$
