Cómo deducir rápidamente que hay 4 conjugados de $S_3$ en $S_4$ ? Como los subgrupos conjugados son isomorfos, podemos tener al menos 4 conjugados de $S_3$ en $S_4$ . Pero no sé por qué no hay más.
*Soy consciente de que hay posts que abordan cuestiones similares, pero la mayoría implican esquemas de "etiquetado" o gráficos. Todavía no he encontrado un enfoque conciso para este problema.
Dejemos que $G = S_4$ actúan sobre sus subgrupos por conjugación. Los conjugados de la copia estándar de $S_3$ constituyen una órbita para esta acción. El tamaño de la órbita es el índice del subgrupo estabilizador. El estabilizador $N$ es lo que se llama el normalizador . Es el conjunto de $\pi \in S_4$ tal que $\pi S_3 \pi^{-1} = S_3$ . Uno tiene $S_3 \subseteq N \subseteq S_4$ sólo por definición. Demuestre que esto, junto con la observación de que el tamaño de la órbita es al menos 4, implica que $S_3 = N$ y el tamaño de la órbita es exactamente $4$ .
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